Matematică >> Ecuații exponentiale >> 2 b.
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}f(x)} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} f(x) } \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se rezolvă această ultimă ecuație.
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci ecuația inițială devine \( f(x) = \color{orange} c \).
\( 2^{3x+1} - 32 = 0 \).
Soluție:
\( 2^{3x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{3x+1} = 32 \)
\( 2^{3x+1} = 2^5 \)
\( 3x+1 = 5 \)
\( 3x = 5 - 1 \)
\( 3x = 4 \)
\( \displaystyle x = \frac{4}{3} \)
sau
\( 2^{3x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{3x+1} = 32 \)
\( \log_2{2^{3x+1}} = \log_2{32} \)
\( (3x+1) \cdot \log_2{2} = \log_2{32} \)
\( (3x+1) \cdot 1 = \log_2{32} \)
\( 3x+1 = \log_2{32} \)
\( 3x+1 = \log_2{2^{5}} \)
\( 3x+1 = 5 \cdot \log_2{2} \)
\( 3x+1 = 5 \cdot 1 \)
\( 3x+1 = 5 \)
\( 3x = 5 - 1 \)
\( 3x = 4 \)
\( \displaystyle x = \frac{4}{3} \)
deci \( \displaystyle S = \{ \frac{4}{3} \} \).
Mulțimea de soluții a ecuației \( 2^{ 7x + 6} - 4096= 0 \),
este:
\(\displaystyle S=\{ \frac{6}{7}\}\).
\( 2^{ 7x + 6} - 4096 = 0 \)
\( 2^{ 7x + 6} = 4096 \)
\( 2^{ 7x + 6} = 2^{12} \)
\( 7x + 6 = 12 \)
\( 7x = 12 - 6 \)
\( 7x = 6 \)
\( \displaystyle x = \frac{6}{7} \)
sau
\( 2^{ 7x + 6} - 4096 = 0 \)
\( 2^{ 7x + 6} = 4096 \)
\( \log_2{2^{ 7x + 6}} = \log_2{4096} \)
\( ( 7x + 6) \cdot \log_2{2} = \log_2{4096} \)
\( ( 7x + 6) \cdot 1 = \log_2{4096} \)
\( 7x + 6 = \log_2{4096} \)
\( 7x + 6 = \log_2{2}^{12} \)
\( 7x + 6 = 12 \cdot \log_2{2} \)
\( 7x + 6 = 12 \cdot 1 \)
\( 7x + 6 = 12 \)
\( 7x = 12 - 6 \)
\( 7x = 6 \)
\( \displaystyle x = \frac{6}{7} \)
\( \displaystyle S = \{ \frac{6}{7} \} \).