Matematică >> Ecuații exponentiale >> 2 b.
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}f(x)} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} f(x) } \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se rezolvă această ultimă ecuație.
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci ecuația inițială devine \( f(x) = \color{orange} c \).
\( 2^{3x+1} - 32 = 0 \).
Soluție:
\( 2^{3x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{3x+1} = 32 \)
\( 2^{3x+1} = 2^5 \)
\( 3x+1 = 5 \)
\( 3x = 5 - 1 \)
\( 3x = 4 \)
\( \displaystyle x = \frac{4}{3} \)
sau
\( 2^{3x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{3x+1} = 32 \)
\( \log_2{2^{3x+1}} = \log_2{32} \)
\( (3x+1) \cdot \log_2{2} = \log_2{32} \)
\( (3x+1) \cdot 1 = \log_2{32} \)
\( 3x+1 = \log_2{32} \)
\( 3x+1 = \log_2{2^{5}} \)
\( 3x+1 = 5 \cdot \log_2{2} \)
\( 3x+1 = 5 \cdot 1 \)
\( 3x+1 = 5 \)
\( 3x = 5 - 1 \)
\( 3x = 4 \)
\( \displaystyle x = \frac{4}{3} \)
deci \( \displaystyle S = \{ \frac{4}{3} \} \).
Mulțimea de soluții a ecuației \( 4^{ - 7x - 7} - 16= 0 \),
este:
\(\displaystyle S=\{ \frac{-9}{7}\}\).
\( 4^{ - 7x - 7} - 16 = 0 \)
\( 4^{ - 7x - 7} = 16 \)
\( 4^{ - 7x - 7} = 4^{2} \)
\( - 7x - 7 = 2 \)
\( - 7x = 2 + 7 \)
\( - 7x = 9 \)
\( \displaystyle x = \frac{9}{-7} \)
\( \displaystyle x = \frac{-9}{7} \)
sau
\( 4^{ - 7x - 7} - 16 = 0 \)
\( 4^{ - 7x - 7} = 16 \)
\( \log_4{4^{ - 7x - 7}} = \log_4{16} \)
\( ( - 7x - 7) \cdot \log_4{4} = \log_4{16} \)
\( ( - 7x - 7) \cdot 1 = \log_4{16} \)
\( - 7x - 7 = \log_4{16} \)
\( - 7x - 7 = \log_4{4}^{2} \)
\( - 7x - 7 = 2 \cdot \log_4{4} \)
\( - 7x - 7 = 2 \cdot 1 \)
\( - 7x - 7 = 2 \)
\( - 7x = 2 + 7 \)
\( - 7x = 9 \)
\( \displaystyle x = \frac{9}{-7} \)
\( \displaystyle x = \frac{-9}{7} \)
\( \displaystyle S = \{ \frac{-9}{7} \} \).