Matematică >> Ecuații exponentiale >> 2 a.
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}f(x)} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} f(x)} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se rezolvă această ultimă ecuație.
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci ecuația inițială devine \( f(x) = \color{orange} c \).
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \).
Soluție:
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{x+1} = 32 \)
\( 2^{x+1} = 2^5 \)
\( x+1 = 5 \)
\( x = 5 - 1 \)
\( x = 4 \)
sau
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{x+1} = 32 \)
\( \log_2{2^{x+1}} = \log_2{32} \)
\( (x+1) \cdot \log_2{2} = \log_2{32} \)
\( (x+1) \cdot 1 = \log_2{32} \)
\( x + 1 = \log_2{32} \)
\( x + 1 = \log_2{2^5} \)
\( x + 1 = 5 \cdot \log_2{2} \)
\( x + 1 = 5 \cdot 1 \)
\( x + 1 = 5 \)
\( x = 5 - 1 \)
\( x = 4 \)
deci \( S = \{ 4 \} \).
Mulțimea de soluții a ecuației \( 2^{x - 9} - 64= 0 \),
este:
\(S=\{15\}\).
\( 2^{x - 9} - 64 = 0 \)
\( 2^{x - 9} = 64 \)
\( 2^{x - 9} = 2^{6} \)
\( x - 9 = 6 \)
\( x = 6 + 9 \)
\( x = 15 \)
sau
\( 2^{x - 9} - 64 = 0 \)
\( 2^{x - 9} = 64 \)
\( \log_2{2^{x - 9}} = \log_2{64} \)
\( (x - 9) \cdot \log_2{2} = \log_2{64} \)
\( (x - 9) \cdot 1 = \log_2{64} \)
\( x - 9 = \log_2{2^{6}} \)
\( x - 9 = 6 \cdot \log_2{2} \)
\( x - 9 = 6 \cdot 1 \)
\( x - 9 = 6 \)
\( x = 6 + 9 \)
\( x = 15 \)
deci \( S = \{ 15 \} \).