Matematică >> Ecuații exponentiale >> 2 a.
teorie
Pentru a rezolva ecuația
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}f(x)} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} f(x)} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se rezolvă această ultimă ecuație.
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci ecuația inițială devine \( f(x) = \color{orange} c \).
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}f(x)} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} f(x)} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se rezolvă această ultimă ecuație.
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci ecuația inițială devine \( f(x) = \color{orange} c \).
exemple
Să se rezolve, în \( \mathbb{R} \), ecuația
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \).
Soluție:
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{x+1} = 32 \)
\( 2^{x+1} = 2^5 \)
\( x+1 = 5 \)
\( x = 5 - 1 \)
\( x = 4 \)
sau
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{x+1} = 32 \)
\( \log_2{2^{x+1}} = \log_2{32} \)
\( (x+1) \cdot \log_2{2} = \log_2{32} \)
\( (x+1) \cdot 1 = \log_2{32} \)
\( x + 1 = \log_2{32} \)
\( x + 1 = \log_2{2^5} \)
\( x + 1 = 5 \cdot \log_2{2} \)
\( x + 1 = 5 \cdot 1 \)
\( x + 1 = 5 \)
\( x = 5 - 1 \)
\( x = 4 \)
deci \( S = \{ 4 \} \).
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \).
Soluție:
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{x+1} = 32 \)
\( 2^{x+1} = 2^5 \)
\( x+1 = 5 \)
\( x = 5 - 1 \)
\( x = 4 \)
sau
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{x+1} = 32 \)
\( \log_2{2^{x+1}} = \log_2{32} \)
\( (x+1) \cdot \log_2{2} = \log_2{32} \)
\( (x+1) \cdot 1 = \log_2{32} \)
\( x + 1 = \log_2{32} \)
\( x + 1 = \log_2{2^5} \)
\( x + 1 = 5 \cdot \log_2{2} \)
\( x + 1 = 5 \cdot 1 \)
\( x + 1 = 5 \)
\( x = 5 - 1 \)
\( x = 4 \)
deci \( S = \{ 4 \} \).
exerciții
Mulțimea de soluții a ecuației \( 7^{x + 4} - 1= 0 \),
este:
\(S=\{-4\}\).
\( 7^{x + 4} - 1 = 0 \)
\( 7^{x + 4} = 1 \)
\( 7^{x + 4} = 7^{0} \)
\( x + 4 = 0 \)
\( x = 0 - 4 \)
\( x = -4 \)
sau
\( 7^{x + 4} - 1 = 0 \)
\( 7^{x + 4} = 1 \)
\( \log_7{7^{x + 4}} = \log_7{1} \)
\( (x + 4) \cdot \log_7{7} = \log_7{1} \)
\( (x + 4) \cdot 1 = \log_7{1} \)
\( x + 4 = \log_7{7^{0}} \)
\( x + 4 = 0 \cdot \log_7{7} \)
\( x + 4 = 0 \cdot 1 \)
\( x + 4 = 0 \)
\( x = 0 - 4 \)
\( x = -4 \)
deci \( S = \{ -4 \} \).