Vectori

Exerciții și probleme... vectori.

Matematică >> Vectori >> 3


teorie
Doi vectori
\( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}a \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + b \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}c \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + d \color{dimgray} \vec{j} \)

sunt opuși dacă au coordonatele opuse, adică
\( \displaystyle \color{red}a \color{dimgray} = \color{red}- c \)
și
\( \displaystyle \color{blue}b \color{dimgray} = \color{blue}- d \).

exemple
Să se determine \( m \) astfel încât vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}(m-2) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} - 3 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}5 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) să fie opuși.

Rezolvare
Vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}a \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + b \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}c \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + d \color{dimgray} \vec{j} \)
sunt opuși dacă au coordonatele opuse, adică
\( \displaystyle \color{red}a \color{dimgray} = \color{red}-c \)
și
\( \displaystyle \color{blue}b \color{dimgray} = \color{blue}-d \).

În acest caz,
vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}(m-2) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} - 3 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}5 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt opuși dacă:
\( \displaystyle \color{red}m - 2 \color{dimgray} = \color{red}-5 \)
și
\( \displaystyle \color{blue}-3 \color{dimgray} = \color{blue}-3 \).

Se obține
\( \displaystyle \color{red}m - 2 \color{dimgray} = \color{red}-5 \)
\( m = -5 + 2 \)
\( m = -3 \),
deci vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}(m-2) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} - 3 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}5 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt opuși pentru \( m = -3 \).

exerciții

Vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red} 2 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + ( - 2m - 3) \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red} - 2 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} - 5 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt opuși pentru

  \( m = \)   


 


exercițiu nou

Vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red} 2 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + ( - 2m - 3) \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red} - 2 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} - 5 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt opuși pentru \( m = -4 \).

În acest caz,
vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red} 2 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + ( - 2m - 3) \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red} - 2 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} - 5 \color{dimgray} \vec{j} \)
sunt opuși dacă au coordonatele opuse, adică
\( \displaystyle \color{red}2 \color{dimgray} = \color{red}2 \)
și
\( \displaystyle \color{blue}-2m - 3 \color{dimgray} = \color{blue}5 \).

Se obține
\( \displaystyle \color{blue}-2m - 3 \color{dimgray} = \color{blue}5 \)
\( -2m = 5 + 3 \)
\( -2m = 8 \)
\( m = -4 \),
deci vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red} 2 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + ( - 2m - 3) \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red} - 2 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} - 5 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt opuși pentru \( m = -4 \).