Vectori

Exerciții și probleme... vectori.

Matematică >> Vectori >> 2


teorie
Doi vectori
\( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}a \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + b \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}c \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + d \color{dimgray} \vec{j} \)

sunt egali dacă au coordonatele egale, adică
\( \displaystyle \color{red}a \color{dimgray} = \color{red}c \)
și
\( \displaystyle \color{blue}b \color{dimgray} = \color{blue}d \).


exemple
Să se determine \( m \) astfel încât vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}(m-2) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}5 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) să fie egali.

Rezolvare
Vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}a \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + b \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}c \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + d \color{dimgray} \vec{j} \)
sunt egali dacă au coordonatele egale, adică
\( \displaystyle \color{red}a \color{dimgray} = \color{red}c \)
și
\( \displaystyle \color{blue}b \color{dimgray} = \color{blue}d \).

În acest caz,
vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}(m-2) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}5 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt egali dacă:
\( \displaystyle \color{red}m - 2 \color{dimgray} = \color{red}5 \)
și
\( \displaystyle \color{blue}3 \color{dimgray} = \color{blue}3 \).

Se obține
\( \displaystyle \color{red}m - 2 \color{dimgray} = \color{red}5 \)
\( m = 5 + 2 \)
\( m = 7 \),
deci vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red}(m-2) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}5 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 3 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt egali pentru \( m = 7 \).

exerciții

Vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red} - 7 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 7 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}( 2m - 3) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 7 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt egali pentru

  \( m = \)   


 


exercițiu nou

Vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red} - 7 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 7 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}( 2m - 3) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 7 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt egali pentru \( m = -2 \).

În acest caz,
vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red} - 7 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 7 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}( 2m - 3) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 7 \color{dimgray} \vec{j} \)
sunt egali dacă au coordonatele egale, adică
\( \displaystyle \color{red}-7 \color{dimgray} = \color{red}2m - 3 \)
și
\( \displaystyle \color{blue}7 \color{dimgray} = \color{blue}7 \).

Se obține
\( \displaystyle \color{red}-7 \color{dimgray} = \color{red}2m - 3 \)
\( \displaystyle \color{red}2m - 3 \color{dimgray} = \color{red}-7 \)
\( 2m = -7 + 3 \)
\( 2m = -4 \)
\( m = -2 \),
deci vectorii \( \displaystyle \vec{u} \color{dimgray} = \color{red} - 7 \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 7 \color{dimgray} \vec{j} \) și \( \displaystyle \vec{v} \color{dimgray} = \color{red}( 2m - 3) \color{dimgray}\vec{i} \color{blue} + 7 \color{dimgray} \vec{j} \) sunt egali pentru \( m = -2 \).