Vectori

Exerciții și probleme... vectori.

Matematică >> Vectori >> 1


teorie
Fie punctele \( A( \color{red}x_A \color{dimgray}, \color{blue}y_A \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}x_B \color{dimgray}, \color{darkmagenta}y_B \color{dimgray}) \).
Să se determine numerele reale \( a \) şi \( b \) astfel încât \( \displaystyle \vec{AB} = a \vec{i} + b \vec{j} \).

Vectorul \( \vec{AB} \), determinat de punctele \( A( \color{red}x_A \color{dimgray}, \color{blue}y_A \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}x_B \color{dimgray}, \color{darkmagenta}y_B \color{dimgray}) \), este dat de formula:
\( \displaystyle \vec{AB} = (\color{fuchsia}x_B \color{dimgray} - \color{red}x_A \color{dimgray}) \vec{i} + (\color{darkmagenta}y_B \color{dimgray} - \color{blue}y_A \color{dimgray}) \vec{j} \), deci
\( \displaystyle a = \color{fuchsia}x_B \color{dimgray} - \color{red}x_A \)
\( \displaystyle b = \color{darkmagenta}y_B \color{dimgray} - \color{blue}y_A \).

exemple
Fie punctele \( A( \color{red}- 3 \color{dimgray}, \color{blue}2 \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}5 \color{dimgray}, \color{darkmagenta}- 1 \color{dimgray}) \).
Să se determine numerele reale \( a \) şi \( b \) astfel încât \( \displaystyle \vec{AB} = a \vec{i} + b \vec{j} \).

Rezolvare
Vectorul \( \vec{AB} \), determinat de punctele \( A( \color{red}x_A \color{dimgray}, \color{blue}y_A \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}x_B \color{dimgray}, \color{darkmagenta}y_B \color{dimgray}) \), este dat de formula:
\( \displaystyle \vec{AB} = (\color{fuchsia}x_B \color{dimgray} - \color{red}x_A \color{dimgray}) \vec{i} + (\color{darkmagenta}y_B \color{dimgray} - \color{blue}y_A \color{dimgray}) \vec{j} \), deci

\( \displaystyle \vec{AB} = (\color{fuchsia}5 \color{dimgray} - \color{red}(- 3) \color{dimgray}) \vec{i} + (\color{darkmagenta}- 1 \color{dimgray} - \color{blue}2 \color{dimgray}) \vec{j} \)
\( \displaystyle \vec{AB} = 8\vec{i} - 5\vec{j} \), deci

\( a = 8 \) şi \( b = - 5\).

exerciții

Fie punctele \( A( \color{red}-2 \color{dimgray}, \color{blue}4 \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}-4 \color{dimgray}, \color{darkmagenta}5 \color{dimgray}) \).
Numerele reale \( a \) şi \( b \) astfel încât \( \displaystyle \vec{AB} = a \vec{i} + b \vec{j} \), sunt:

 \( \displaystyle \vec{AB} = \)  \( \displaystyle \vec{i} + \)  \( \displaystyle \vec{j} \)

 


exercițiu nou

Fie punctele \( A( \color{red}-2 \color{dimgray}, \color{blue}4 \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}-4 \color{dimgray}, \color{darkmagenta}5 \color{dimgray}) \).
Numerele reale \( a \) şi \( b \) astfel încât \( \displaystyle \vec{AB} = a \vec{i} + b \vec{j} \), sunt:
\( a = -2 \) şi \( b = 1 \).

Vectorul \( \vec{AB} \), determinat de punctele \( A( \color{red}x_A \color{dimgray}, \color{blue}y_A \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}x_B \color{dimgray}, \color{darkmagenta}y_B \color{dimgray}) \), este dat de formula:
\( \displaystyle \vec{AB} = (\color{fuchsia}x_B \color{dimgray} - \color{red}x_A \color{dimgray}) \vec{i} + (\color{darkmagenta}y_B \color{dimgray} - \color{blue}y_A \color{dimgray}) \vec{j} \), deci

\( \displaystyle \vec{AB} = (\color{fuchsia} - 4 \color{dimgray} - \color{red}(-2) \color{dimgray}) \vec{i} + (\color{darkmagenta} 5 \color{dimgray} - \color{blue}4 \color{dimgray}) \vec{j} \)
\( \displaystyle \vec{AB} = ( - 4 + 2 ) \vec{i} + ( 5 - 4 ) \vec{j} \)
\( \displaystyle \vec{AB} = - 2 \vec{i} + \vec{j} \), deci

\( a = -2 \) şi \( b = 1 \).