Sisteme de ecuații

Exerciții și probleme... sisteme de ecuații.

Matematică >> sisteme de ecuații >> 1


exemple
De exemplu, să se rezolve sistemul:
\( \displaystyle \begin{cases} 2x -3y = 3 \\ 5x +2y = 17 \\ \end{cases}\).

Sistemul poate fi rezolvat folosind, de două ori, metoda reducerii.

Se elimină necunoscuta \( y \):
se înmulțește prima ecuație cu \( 2 \) și a doua ecuație cu \( 3 \), apoi se adună ecuațiile:
\( \displaystyle \begin{cases} 4x -6y = 6 \\ 15x +6y = 51 \\ \hline \end{cases}\\ \)
\( 19x = 57 \)
\( \displaystyle x = \frac{57}{19} \)
\( x = 3 \).

Se elimină necunoscuta \( x \):
se înmulțește prima ecuație cu \( 5 \) și a doua ecuație cu \( -2 \), apoi se adună ecuațiile: \( \displaystyle \begin{cases} 10x -15y = 15 \\ -10x -4y = -34 \\ \hline \end{cases}\\ \)
\( -19y = -19 \)
\( \displaystyle y = \frac{-19}{-19} \)
\( y = 1 \).

Soluția sistemului este \( S = \{ (3, 1) \} \).


exerciții

Soluția sistemului:
\( \displaystyle \begin{cases} 2x -3y = 23 \\ 2x +3y = 5 \\ \end{cases}\)
este:

 \( S = \{ ( \frac{ + 5-3y}{2}, y ) | y \in \mathbb{R} \} \)

 \( S = \emptyset \)

 \( S = \{ (7, -2) \} \)

 \( S = \{ (7, -3) \} \)

 \( S = \{ (10, -6) \} \)



 


exercițiu nou

Soluția sistemului:
\( \displaystyle \begin{cases} 2x -3y = 23 \\ 2x +3y = 5 \\ \end{cases}\)

este:  \( S = \{ (7, -3) \} \).

Sistemul poate fi rezolvat folosind metoda reducerii
\( \displaystyle \begin{cases} 2x -3y = 23 \\ 2x +3y = 5 \\ \end{cases}\)

Pentru a reduce necunoscuta \(x\):
se înmulțește prima ecuație cu \(-1\):
\( \displaystyle \begin{cases} -2x +3y = -23 \\ 2x +3y = 5 \\ \end{cases}\\ \)
se adună ecuațiile și se reduce necunoscuta \(x\):
\( \displaystyle \begin{cases} -2x +3y = -23 \\ 2x +3y = 5 \\ \hline \end{cases}\\ \)
\( 6y = -18 \)
\( \displaystyle y = \frac {-18}{6} \)
\( y = -3 \).

Pentru a reduce necunoscuta \( y \):
se observă că adunând ecuațiile se reduce necunoscuta \( y \):
\( \displaystyle \begin{cases} 2x -3y = 23 \\ 2x +3y = 5 \\ \hline \end{cases}\\ \)
\( 4x = 28 \)
\( \displaystyle x = \frac {28}{4} \)
\( x = 7 \).

 \( S = \{ (7, -3) \} \).