Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 21


teorie
Formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

exemple
Verificați dacă \( 2015 \) este termen al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( a_{4} = 15 \) și \( a_{17} = 67 \).

Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{4} = 15 \\ a_{17} = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (4-1) \cdot r = 15 \\ a_{1} + (17-1) \cdot r = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 3 \cdot r = 15 \\ a_{1} + 16 \cdot r = 67 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 13 \cdot r = 52 $
$ r = 4 $

cum \( r = 4 \), se obține:
\( a_{1} + 3 \cdot 4 = 15 \)
\( a_{1} + 12 = 15 \)
\( a_{1} = 15 - 12 \)
\( a_{1} = 3 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
se verifică dacă \( 2015 \) este termen al progresiei aritmetice:

\( 2015 = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)
\( 2015 = 3 + ( n - 1 ) \cdot 4 \)
\( 3 + ( n - 1 ) \cdot 4 = 2015 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 4 = 2015 - 3 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 4 = 2012 \)
\( n - 1 = 503 \)
\( n = 504 \in \mathbb{N}\),
deci \( 2015 \) este termen al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \),
mai exact \( a_{504} = 2015 \).

exerciții

Fie progresia aritmetică $ (a_n)_{n \geq 1} $,
cu $ a_{12} = 30 $ și $ a_{15} = 36 $.
Numărul $ 108 $ este termen al progresiei:

 da
 nu


 


exercițiu nou

Fie progresia aritmetică $ (a_n)_{n \geq 1} $,
cu $ a_{12} = 30 $ și $ a_{15} = 36 $.
Nu, numărul $ 108 $ nu este termen al progresiei.

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{12} = 30 \\ a_{15} = 36 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (12-1) \cdot r = 30 \\ a_{1} + (15-1) \cdot r = 36 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 11 \cdot r = 30 \\ a_{1} + 14 \cdot r = 36 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 3 \cdot r = 6 $
$ r = 2 $

cum \( r = 2 \), se obține:
\( a_{1} + 11 \cdot 2 = 30 \)
\( a_{1} + 22 = 30 \)
\( a_{1} = 30 - 22 \)
\( a_{1} = 8 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
se verifică dacă \( 108 \) este termen al progresiei aritmetice:

\( 108 = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)
\( 108 = 8 + ( n - 1 ) \cdot 2 \)
\( 8 + ( n - 1 ) \cdot 2 = 108 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 2 = 108 - 8 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 2 = 100 \)
\( \displaystyle n - 1 = \frac{100}{2} \notin \mathbb{N} \),
deci \( 108 \) nu este termen al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \).