Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 20


teorie
Suma primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice,
\( S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n \), se poate calcula folosind formula:
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).

exemple
Determinați primul termen și rația unei progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( S_{3} = 21 \) și \( S_{7} = 105 \).

Rezolvare:
Folosind formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice,
$ \displaystyle \color{red} S_n = \frac {2 \cdot a_1 + ( n-1) \cdot r}{2} \cdot n $,
se obține:

$ \begin{cases} S_{3} = 21 \\ S_{7} = 105 \end{cases}$

$ \begin{cases} \displaystyle \frac {2 \cdot a_1 + ( 3-1) \cdot r}{2} \cdot 3 = 21 \\ \displaystyle \frac {2 \cdot a_1 + ( 7-1) \cdot r}{2} \cdot 7 = 105 \end{cases}$

$ \begin{cases} \big( 2a_{1} + 2 r \big) \cdot 3 = 42 \\ \big( 2a_{1} + 6 r \big) \cdot 7 = 210 \end{cases}$

Prima ecuație se împarte cu $3$, iar a doua ecuație se împarte cu $7$:
$ \begin{cases} 2 a_{1} + 2 r = 14 \\ 2 a_{1} + 6 r = 30 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 4r = 16 $
$ r = 4 $

cum \( r = 4 \), se obține:
\( 2 \cdot a_{1} + 2 \cdot 4 = 14 \)
\( 2 \cdot a_{1} + 8 = 14 \)
\( 2 \cdot a_{1} = 14 - 8 \)
\( 2 \cdot a_{1} = 6 \)
\( a_{1} = 3 \).

exerciții

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \),
cu \( S_{5} = 110 \) și \( S_{14} = 749 \).
Primul termen și rația progresiei sunt:

 \( a_1 = \) 
 \( r = \) 

 


exercițiu nou

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \), cu \( S_{5} = 110 \) și \( S_{14} = 749 \).
Primul termen și rația progresiei sunt: \( a_1 = 8 \) și \( r = 7 \).

Folosind formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice,
$ \displaystyle \color{red} S_n = \frac {2 \cdot a_1 + ( n-1) \cdot r}{2} \cdot n $,
se obține:

$ \begin{cases} S_{5} = 110 \\ S_{14} = 749 \end{cases}$

$ \begin{cases} \displaystyle \frac {2 \cdot a_1 + ( 5-1) \cdot r}{2} \cdot 5 = 110 \\ \displaystyle \frac {2 \cdot a_1 + ( 14-1) \cdot r}{2} \cdot 14 = 749 \end{cases}$

$ \begin{cases} \big( 2a_{1} + 4 r \big) \cdot 5 = 220 \\ \big( 2a_{1} + 13 r \big) \cdot 14 = 1498 \end{cases}$

Prima ecuație se împarte cu $5$, iar a doua ecuație se împarte cu $14$:
$ \begin{cases} 2 a_{1} + 4 r = 44 \\ 2 a_{1} + 13 r = 107 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 9r = 63 $
$ r = 7 $

cum \( r = 7 \), se obține:
\( 2 \cdot a_{1} + 4 \cdot 7 = 44 \)
\( 2 \cdot a_{1} + 28 = 44 \)
\( 2 \cdot a_{1} = 44 - 28 \)
\( 2 \cdot a_{1} = 16 \)
\( a_{1} = 8 \).