Matematică >> Progresii aritmetice >> 14
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Rezolvare:
Se observă că termenii sumei sunt termenii unei progresii aritmetice (pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este \( 7 \) ).
Primii doi termeni ai progresiei sunt:
\( a_1 = 2 \)
\( a_2 = 9 \)
deci rația progresiei este:
\( r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7 \).
După ce se va determina numărul termenilor sumei, se va folosi formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Deoarece \( a_{n} = 149 \), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \)
\( 149 = 2 + ( n - 1 ) \cdot 7 \)
\( 2 + ( n - 1 ) \cdot 7 = 149 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 149 - 2 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 147 \)
\( n - 1 = 147 : 7 \)
\( n = 21 + 1 \)
\( n = 22 \).
Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:
\( \displaystyle S_{22} = \frac{2a_1 + (22-1)r}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{2 \cdot 2 + 21 \cdot 7}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{4 + 147}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{151}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = 151 \cdot 11 \)
\( \displaystyle S_{22} = 1661 \).
Suma $ S = -5 + 0 + 5 + 10 + \dots + 120 $ este:
\( S = 1495\).
Se observă că termenii sumei sunt termenii unei progresii aritmetice (pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este \( 5 \) ).
Primii doi termeni ai progresiei sunt:
\( a_1 = -5 \)
\( a_2 = 0 \)
deci rația progresiei este:
\( r = a_2 - a_1 = 0 - (-5) = 5 \).
După ce se va determina numărul termenilor sumei, se va folosi formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Deoarece \( a_{n} = 120 \), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \)
\( 120 = -5 + ( n - 1 ) \cdot 5 \)
\( -5 + ( n - 1 ) \cdot 5 = 120 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 5 = 120 + 5 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 5 = 125 \)
\( n - 1 = 125 : 5 \)
\( n = 25 + 1 \)
\( n = 26 \).
Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:
\( \displaystyle S_{26} = \frac{2a_1 + (26-1)r}{2} \cdot 26 \)
\( \displaystyle S_{26} = \frac{2 \cdot (-5) + 25 \cdot 5}{2} \cdot 26 \)
\( \displaystyle S_{26} = \frac{-10 + 125}{2} \cdot 26 \)
\( \displaystyle S_{26} = \frac{115}{2} \cdot 26 \)
\( \displaystyle S_{26} = 115 \cdot 13 \)
\( \displaystyle S_{26} = 1495 \).