Matematică >> Progresii aritmetice >> 14
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Rezolvare:
Se observă că termenii sumei sunt termenii unei progresii aritmetice (pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este \( 7 \) ).
Primii doi termeni ai progresiei sunt:
\( a_1 = 2 \)
\( a_2 = 9 \)
deci rația progresiei este:
\( r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7 \).
După ce se va determina numărul termenilor sumei, se va folosi formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Deoarece \( a_{n} = 149 \), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \)
\( 149 = 2 + ( n - 1 ) \cdot 7 \)
\( 2 + ( n - 1 ) \cdot 7 = 149 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 149 - 2 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 147 \)
\( n - 1 = 147 : 7 \)
\( n = 21 + 1 \)
\( n = 22 \).
Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:
\( \displaystyle S_{22} = \frac{2a_1 + (22-1)r}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{2 \cdot 2 + 21 \cdot 7}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{4 + 147}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{151}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = 151 \cdot 11 \)
\( \displaystyle S_{22} = 1661 \).
Suma $ S = 1 + 8 + 15 + 22 + \dots + 239 $ este:
\( S = 4200\).
Se observă că termenii sumei sunt termenii unei progresii aritmetice (pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este \( 7 \) ).
Primii doi termeni ai progresiei sunt:
\( a_1 = 1 \)
\( a_2 = 8 \)
deci rația progresiei este:
\( r = a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7 \).
După ce se va determina numărul termenilor sumei, se va folosi formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Deoarece \( a_{n} = 239 \), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \)
\( 239 = 1 + ( n - 1 ) \cdot 7 \)
\( 1 + ( n - 1 ) \cdot 7 = 239 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 239 - 1 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 238 \)
\( n - 1 = 238 : 7 \)
\( n = 34 + 1 \)
\( n = 35 \).
Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:
\( \displaystyle S_{35} = \frac{2a_1 + (35-1)r}{2} \cdot 35 \)
\( \displaystyle S_{35} = \frac{2 \cdot 1 + 34 \cdot 7}{2} \cdot 35 \)
\( \displaystyle S_{35} = \frac{2 + 238}{2} \cdot 35 \)
\( \displaystyle S_{35} = \frac{240}{2} \cdot 35 \)
\( \displaystyle S_{35} = 120 \cdot 35 \)
\( \displaystyle S_{35} = 4200 \).