Matematică >> Progresii aritmetice >> 14
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Rezolvare:
Se observă că termenii sumei sunt termenii unei progresii aritmetice (pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este \( 7 \) ).
Primii doi termeni ai progresiei sunt:
\( a_1 = 2 \)
\( a_2 = 9 \)
deci rația progresiei este:
\( r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7 \).
După ce se va determina numărul termenilor sumei, se va folosi formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Deoarece \( a_{n} = 149 \), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \)
\( 149 = 2 + ( n - 1 ) \cdot 7 \)
\( 2 + ( n - 1 ) \cdot 7 = 149 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 149 - 2 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 147 \)
\( n - 1 = 147 : 7 \)
\( n = 21 + 1 \)
\( n = 22 \).
Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:
\( \displaystyle S_{22} = \frac{2a_1 + (22-1)r}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{2 \cdot 2 + 21 \cdot 7}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{4 + 147}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = \frac{151}{2} \cdot 22 \)
\( \displaystyle S_{22} = 151 \cdot 11 \)
\( \displaystyle S_{22} = 1661 \).
Suma $ S = 3 + 11 + 19 + 27 + \dots + 379 $ este:
\( S = 9168\).
Se observă că termenii sumei sunt termenii unei progresii aritmetice (pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este \( 8 \) ).
Primii doi termeni ai progresiei sunt:
\( a_1 = 3 \)
\( a_2 = 11 \)
deci rația progresiei este:
\( r = a_2 - a_1 = 11 - 3 = 8 \).
După ce se va determina numărul termenilor sumei, se va folosi formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Deoarece \( a_{n} = 379 \), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \)
\( 379 = 3 + ( n - 1 ) \cdot 8 \)
\( 3 + ( n - 1 ) \cdot 8 = 379 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 8 = 379 - 3 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 8 = 376 \)
\( n - 1 = 376 : 8 \)
\( n = 47 + 1 \)
\( n = 48 \).
Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:
\( \displaystyle S_{48} = \frac{2a_1 + (48-1)r}{2} \cdot 48 \)
\( \displaystyle S_{48} = \frac{2 \cdot 3 + 47 \cdot 8}{2} \cdot 48 \)
\( \displaystyle S_{48} = \frac{6 + 376}{2} \cdot 48 \)
\( \displaystyle S_{48} = \frac{382}{2} \cdot 48 \)
\( \displaystyle S_{48} = 191 \cdot 48 \)
\( \displaystyle S_{48} = 9168 \).