Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 22


teorie
Formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

Cunoscând primul termen \( a_1 \) şi rația \( r \), unei progresii aritmetice,
se calculează suma primilor \( n \) termeni ai progresiei \( S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n \), folosind formula:
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).

exemple
Calculați suma primilor \( 50 \) de termeni ai progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( a_{4} = 15 \) și \( a_{17} = 67 \).

Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{4} = 15 \\ a_{17} = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (4-1) \cdot r = 15 \\ a_{1} + (17-1) \cdot r = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 3 \cdot r = 15 \\ a_{1} + 16 \cdot r = 67 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 13 \cdot r = 52 $
$ r = 4 $

cum \( r = 4 \), se obține:
\( a_{1} + 3 \cdot 4 = 15 \)
\( a_{1} + 12 = 15 \)
\( a_{1} = 15 - 12 \)
\( a_{1} = 3 \).

Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:

\( \displaystyle S_{50} = \frac{2a_1 + (50-1)r}{2} \cdot 50 \)

\( \displaystyle S_{50} = \frac{2 \cdot 3 + 49 \cdot 4}{2} \cdot 50 \)

\( \displaystyle S_{50} = \frac{6 + 196}{2} \cdot 50 \)

\( \displaystyle S_{50} = \frac{202}{2} \cdot 50 \)

\( \displaystyle S_{50} = 101 \cdot 50 \)

\( \displaystyle S_{50} = 5050 \).

exerciții

Suma primilor $ 45 $ termeni ai progresiei aritmetice $ (a_n)_{n \geq 1} $,
cu $ a_{4} = 25 $ și $ a_{8} = 57 $ este:

  \( S_{45} = \)   


 


exercițiu nou

Suma primilor $ 45 $ termeni ai progresiei aritmetice $ (a_n)_{n \geq 1} $,
cu $ a_{4} = 25 $ și $ a_{8} = 57 $ este \( S_{45} = 7965 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{4} = 25 \\ a_{8} = 57 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (4-1) \cdot r = 25 \\ a_{1} + (8-1) \cdot r = 57 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 3 \cdot r = 25 \\ a_{1} + 7 \cdot r = 57 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 4 \cdot r = 32 $
$ r = 8 $

cum \( r = 8 \), se obține:
\( a_{1} + 3 \cdot 8 = 25 \)
\( a_{1} + 24 = 25 \)
\( a_{1} = 25 - 24 \)
\( a_{1} = 1 \).

Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:

\( \displaystyle S_{45} = \frac{2a_1 + (45-1)r}{2} \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = \frac{2 \cdot 1 + 44 \cdot 8}{2} \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = \frac{2 + 352}{2} \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = \frac{354}{2} \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = 177 \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = 7965 \).