Matematică >> Progresii aritmetice >> 3
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
Se poate folosi și faptul că pentru
$ p, q, r, s \in \mathbb{N} $ cu $ p + q = r + s $
are loc:
$ a_{p} + a_{q} = a_{r} + a_{s} $.
Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:
\( a_{3} = a_{1} + (3-1) \cdot r = a_{1} + 2 \cdot r \)
\( a_{19} = a_{1} + (19-1) \cdot r = a_{1} + 18 \cdot r \)
\( a_{3} + a_{19} = a_{1} + 2 \cdot r + a_{1} + 18 \cdot r \)
\( a_{3} + a_{19} = 2 \cdot a_{1} + 20 \cdot r \),
iar
\( a_{6} = a_{1} + (6-1) \cdot r = a_{1} + 5 \cdot r \)
\( a_{16} = a_{1} + (16-1) \cdot r = a_{1} + 15 \cdot r \)
\( a_{6} + a_{16} = a_{1} + 5 \cdot r + a_{1} + 15 \cdot r \)
\( a_{6} + a_{16} = 2 \cdot a_{1} + 20 \cdot r \),
deci
\( a_{6} + a_{16} = a_{3} + a_{19} \)
\( a_{6} + a_{16} = 10 \).
Fie $ (a_n)_{n \geq 1} $ o progresie aritmetică.
Știind că $ a_{5} + a_{27} = 258 $, suma $ a_{9} + a_{23} $ este:
exercițiu nou
Fie $ (a_n)_{n \geq 1} $ o progresie aritmetică.
Știind că $ a_{5} + a_{27} = 258 $, suma $ a_{9} + a_{23} $ este $258$.
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:
\( a_{5} = a_{1} + (5-1) \cdot r = a_{1} + 4 \cdot r \)
\( a_{27} = a_{1} + (27-1) \cdot r = a_{1} + 26 \cdot r \)
\( a_{5} + a_{27} = a_{1} + 4 \cdot r + a_{1} + 26 \cdot r \)
\( a_{5} + a_{27} = 2 \cdot a_{1} + 30 \cdot r \),
iar
\( a_{9} = a_{1} + (9-1) \cdot r = a_{1} + 8 \cdot r \)
\( a_{23} = a_{1} + (23-1) \cdot r = a_{1} + 22 \cdot r \)
\( a_{9} + a_{23} = a_{1} + 8 \cdot r + a_{1} + 22 \cdot r \)
\( a_{9} + a_{23} = 2 \cdot a_{1} + 30 \cdot r \),
deci
\( a_{9} + a_{23} = a_{5} + a_{27} \)
\( a_{9} + a_{23} = 258 \).