Matematică >> Progresii aritmetice >> 8
se poate afla uşor rația progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \),
folosind formula termenului general, astfel:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
Egalitatea
\( a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)
se scrie
\( a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r = a_{n} \),
\( ( n - 1 ) \cdot r = a_{n} - a_{1} \),
deci
\( \displaystyle r = \frac{ a_{n} - a_{1} }{ n - 1 } \).
cu primul termen \( a_1 = - 3 \) și al \( 53 \)-lea termen \( a_{53} = 101 \).
Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 53 \), se obține:
\( a_{53} = a_{1} + (53-1) \cdot r \)
\( a_{53} = a_{1} + 52 \cdot r \)
deci,
\( a_{1} + 52 \cdot r = a_{53} \)
\( 52 \cdot r = a_{53} - a_{1} \)
\( \displaystyle r = \frac{ a_{53} - a_{1} }{ 52 } \)
\( \displaystyle r = \frac{ 101 - (-3) }{ 52 } = \frac{ 104 }{ 52 } = 2 \).
Rația progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \), cu primul termen \( a_{1} = -8 \) și
termenul de rang \( 78 \), \( a_{78} = 377 \) este:
exercițiu nou
Rația progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \), cu primul termen \( a_{1} = -8 \) și
termenul de rang \( 78 \), \( a_{78} = 377 \) este \( r = 5 \).
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 78 \), se obține:
\( a_{78} = a_{1} + (78-1) \cdot r \)
\( a_{78} = a_{1} + 77 \cdot r \)
\( a_{1} + 77 \cdot r = a_{78} \)
\( 77 \cdot r = a_{78} - a_{1} \)
\( \displaystyle r = \frac{ a_{78} - a_{1} }{ 77 } \)
\( \displaystyle r = \frac{ 377 - (-8) }{ 77 } = \frac{ 377 + 8 }{ 77 } = \frac{ 385 }{ 77 } = 5 \).