Matematică >> Progresii aritmetice >> 7
teorie
Cunoscând termenul de rang \( n \) și rația unei progresii aritmetice ( \( a_n \) şi \( r \) ),
se poate afla uşor primul termen al progresiei, folosind formula termenului general, astfel:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
Egalitatea
\( a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)
se scrie
\( a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r = a_{n} \),
adică
\( a_{1} = a_{n} - ( n - 1 ) \cdot r \).
se poate afla uşor primul termen al progresiei, folosind formula termenului general, astfel:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
Egalitatea
\( a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)
se scrie
\( a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r = a_{n} \),
adică
\( a_{1} = a_{n} - ( n - 1 ) \cdot r \).
exemple
Să se determine primul termen al progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \),
cu al \( 53 \)-lea termen \( a_{53} = 101 \) și rația \( r = 2 \).
Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 53 \), se obține:
\( a_{53} = a_{1} + (53-1) \cdot r \)
\( a_{53} = a_{1} + 52 \cdot r \),
deci
\( a_{1} + 52 \cdot r = a_{53} \)
\( a_{1} = a_{53} - 52 \cdot r \)
\( a_{1} = 101 - 52 \cdot 2 = 101 - 104 = - 3 \).
cu al \( 53 \)-lea termen \( a_{53} = 101 \) și rația \( r = 2 \).
Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 53 \), se obține:
\( a_{53} = a_{1} + (53-1) \cdot r \)
\( a_{53} = a_{1} + 52 \cdot r \),
deci
\( a_{1} + 52 \cdot r = a_{53} \)
\( a_{1} = a_{53} - 52 \cdot r \)
\( a_{1} = 101 - 52 \cdot 2 = 101 - 104 = - 3 \).
exerciții
exercițiu nou
Primul termen al progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \), cu termenul de rang \( 99 \),
\( a_{99} = 309 \) și rația \( r = 3 \) este:
exercițiu nou
Primul termen al progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \), cu termenul de rang \( 99 \),
\( a_{99} = 309 \) și rația \( r = 3 \) este \( a_{1} = 15 \).
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 99 \), se obține:
\( a_{99} = a_{1} + (99-1) \cdot r \)
\( a_{99} = a_{1} + 98 \cdot 3 \),
deci
\( a_{1} + 98 \cdot 3 = a_{99} \)
\( a_{1} = a_{99} - 98 \cdot 3 \)
\( a_{1} = 309 - 98 \cdot 3 = 309 - 294 = 15 \).