Matematică >> Progresii aritmetice >> 16
teorie
Cunoscând doi termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice (\( a_{n} \) şi \( a_{n+1} \)), se poate determina uşor rația \( r \) progresiei \( ( a_n )_{n \ge 1} \), folosind definiția:
\( \color{red} r = a_{n+1} - a_{n} \),
apoi se determină primul termen \( a_1 \) al progresiei (\( a_n \)), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
\( \color{red} r = a_{n+1} - a_{n} \),
apoi se determină primul termen \( a_1 \) al progresiei (\( a_n \)), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
exemple
Determinați primul termen al progresiei aritmetice \( a_1 , a_2, 18, 23, \dots \).
Rezolvare:
Doi termeni consecutivi ai progresiei sunt \( a_3 = 18 \) şi \( a_4 = 23 \), deci rația este:
\( \color{red} r = a_{4} - a_{3} \),
\( r = 23 - 18 = 5 \).
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 3 \), se obține:
\( a_{3} = a_{1} + (3-1) \cdot r \)
\( a_{3} = a_{1} + 2 \cdot r \)
\( 18 = a_{1} + 2 \cdot 5 \)
\( 18 = a_{1} + 10 \)
\( a_{1} = 8 \).
Rezolvare:
Doi termeni consecutivi ai progresiei sunt \( a_3 = 18 \) şi \( a_4 = 23 \), deci rația este:
\( \color{red} r = a_{4} - a_{3} \),
\( r = 23 - 18 = 5 \).
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 3 \), se obține:
\( a_{3} = a_{1} + (3-1) \cdot r \)
\( a_{3} = a_{1} + 2 \cdot r \)
\( 18 = a_{1} + 2 \cdot 5 \)
\( 18 = a_{1} + 10 \)
\( a_{1} = 8 \).
exerciții
Primul termen al progresiei aritmetice $ a_1, a_2, 22, 29, ... $ este: $8$.
Doi termeni consecutivi ai progresiei sunt \( a_{3} = 22 \) şi \( a_{4} = 29 \), deci rația este:
\( \color{red} r = a_{4} - a_{3} \),
\( r = 29 - 22 = 7 \).
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 3 \), se obține:
\( a_{3} = a_{1} + (3-1) \cdot r \)
\( a_{3} = a_{1} + 2 \cdot r \)
\( 22 = a_{1} + 2 \cdot 7 \)
\( 22 = a_{1} + 14 \)
\( a_{1} = 8 \).