Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 23


teorie
Formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

Suma primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice,
\( S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n \), se poate calcula folosind formula:
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).


exemple
Determinați primul termen și rația unei progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( S_{7} - S_{3} = 84 \) și \( a_{9} - a_{2} = 28 \).

Rezolvare:
Folosind formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice:
$ \displaystyle \color{red} S_n = \frac {2 \cdot a_1 + ( n-1) \cdot r}{2} \cdot n $
și formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

se obține:

$ \begin{cases} S_{7} - S_{3} = 84 \\ a_{9} - a_{2} = 28 \end{cases}$

$ \begin{cases} \displaystyle \frac {2 a_1 + ( 7-1) r}{2} \cdot 7 - \displaystyle \frac {2 a_1 + ( 3-1) r}{2} \cdot 3 = 84 \\ \big[ a_{1} + (9-1) r \big] - \big[ a_{1} + (2-1) r \big] = 28 \end{cases}$

$ \begin{cases} \big( 2a_{1} + 6 r \big) \cdot 7 - \big( 2a_{1} + 2 r \big) \cdot 3 = 168 \\ a_{1} + 8 r - a_{1} - 1 r = 28 \end{cases}$

$ \begin{cases} 14 a_{1} + 42 r - 6 a_{1} - 6 r = 168 \\ 7 r = 28 \end{cases}$

$ \begin{cases} 8 a_{1} + 36 r = 168 \\ r = 4 \end{cases}$

Substituind $r = 4$ în prima egalitate, se obține:

$ 8 a_{1} + 36 \cdot 4 = 168 $
$ 8 a_{1} + 144 = 168 $
$ 8 a_{1} = 168 - 144 $
$ 8 a_{1} = 24 $
$ a_{1} = 3 $.


exerciții

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \),
cu $ S_{13} - S_{9} = 260 $ și $ a_{11} - a_{8} = 18$.
Primul termen și rația progresiei sunt:

 \( a_1 = \) 
 \( r = \) 

 


exercițiu nou

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \),
cu $ S_{13} - S_{9} = 260 $ și $ a_{11} - a_{8} = 18$.
Primul termen și rația progresiei sunt:\( a_1 = 2 \) și \( r = 6 \).

Folosind formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice:
$ \displaystyle \color{red} S_n = \frac {2 \cdot a_1 + ( n-1) \cdot r}{2} \cdot n $
și formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

se obține:

$ \begin{cases} S_{13} - S_{9} = 260 \\ a_{11} - a_{8} = 18 \end{cases}$

$ \begin{cases} \displaystyle \frac {2 a_1 + ( 13-1) r}{2} \cdot 13 - \displaystyle \frac {2 a_1 + ( 9-1) r}{2} \cdot 9 = 260 \\ \big[ a_{1} + (11-1) r \big] - \big[ a_{1} + (8-1) r \big] = 18 \end{cases}$

$ \begin{cases} \big( 2a_{1} + 12 r \big) \cdot 13 - \big( 2a_{1} + 8 r \big) \cdot 9 = 520 \\ a_{1} + 10 r - a_{1} - 7 r = 18 \end{cases}$

$ \begin{cases} 26 a_{1} + 156 r - 18 a_{1} - 72 r = 520 \\ 3 r = 18 \end{cases}$

$ \begin{cases} 8 a_{1} + 84 r = 520 \\ r = 6 \end{cases}$

Substituind $r = 6$ în prima egalitate, se obține:

$ 8 a_{1} + 84 \cdot 6 = 520 $
$ 8 a_{1} + 504 = 520 $
$ 8 a_{1} = 520 - 504 $
$ 8 a_{1} = 16 $
$ a_{1} = 2 $.