Matematică >> Progresii aritmetice >> 23
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
Suma primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice,
\( S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n \), se poate calcula folosind formula:
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).
Rezolvare:
Folosind formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice:
$ \displaystyle \color{red} S_n = \frac {2 \cdot a_1 + ( n-1) \cdot r}{2} \cdot n $
și formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
se obține:
$ \begin{cases} S_{7} - S_{3} = 84 \\ a_{9} - a_{2} = 28 \end{cases}$
$ \begin{cases} \displaystyle \frac {2 a_1 + ( 7-1) r}{2} \cdot 7 - \displaystyle \frac {2 a_1 + ( 3-1) r}{2} \cdot 3 = 84 \\ \big[ a_{1} + (9-1) r \big] - \big[ a_{1} + (2-1) r \big] = 28 \end{cases}$
$ \begin{cases} \big( 2a_{1} + 6 r \big) \cdot 7 - \big( 2a_{1} + 2 r \big) \cdot 3 = 168 \\ a_{1} + 8 r - a_{1} - 1 r = 28 \end{cases}$
$ \begin{cases} 14 a_{1} + 42 r - 6 a_{1} - 6 r = 168 \\ 7 r = 28 \end{cases}$
$ \begin{cases} 8 a_{1} + 36 r = 168 \\ r = 4 \end{cases}$
Substituind $r = 4$ în prima egalitate, se obține:
$ 8 a_{1} + 36 \cdot 4 = 168 $
$ 8 a_{1} + 144 = 168 $
$ 8 a_{1} = 168 - 144 $
$ 8 a_{1} = 24 $
$ a_{1} = 3 $.
Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \),
cu $ S_{13} - S_{6} = 560 $ și $ a_{10} - a_{3} = 56$.
Primul termen și rația progresiei sunt:
exercițiu nou
Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \),
cu $ S_{13} - S_{6} = 560 $ și $ a_{10} - a_{3} = 56$.
Primul termen și rația progresiei sunt:\( a_1 = 8 \) și \( r = 8 \).
Folosind formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice:
$ \displaystyle \color{red} S_n = \frac {2 \cdot a_1 + ( n-1) \cdot r}{2} \cdot n $
și formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
se obține:
$ \begin{cases}
S_{13} - S_{6} = 560 \\
a_{10} - a_{3} = 56 \end{cases}$
$ \begin{cases}
\displaystyle \frac {2 a_1 + ( 13-1) r}{2} \cdot 13 - \displaystyle \frac {2 a_1 + ( 6-1) r}{2} \cdot 6 = 560 \\
\big[ a_{1} + (10-1) r \big] - \big[ a_{1} + (3-1) r \big] = 56
\end{cases}$
$ \begin{cases}
\big( 2a_{1} + 12 r \big) \cdot 13 - \big( 2a_{1} + 5 r \big) \cdot 6 = 1120 \\
a_{1} + 9 r - a_{1} - 2 r = 56
\end{cases}$
$ \begin{cases}
26 a_{1} + 156 r - 12 a_{1} - 30 r = 1120 \\
7 r = 56
\end{cases}$
$ \begin{cases}
14 a_{1} + 126 r = 1120 \\
r = 8
\end{cases}$
Substituind $r = 8$ în prima egalitate, se obține:
$ 14 a_{1} + 126 \cdot 8 = 1120 $
$ 14 a_{1} + 1008 = 1120 $
$ 14 a_{1} = 1120 - 1008 $
$ 14 a_{1} = 112 $
$ a_{1} = 8 $.