Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 19


teorie
Formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

exemple
Determinați primul termen și rația unei progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( a_{2} + a_{7} = 34 \) și \( a_{4} + a_{9}= 50 \).

Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{2} + a_{7} = 34 \\ a_{4} + a_{9} = 50 \end{cases}$

$ \begin{cases} \big[ a_{1} + (2-1) \cdot r \big] + \big[ a_{1} + (7-1) \cdot r \big] = 34 \\ \big[ a_{1} + (4-1) \cdot r \big] + \big[ a_{1} + (9-1) \cdot r \big] = 50 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 1 \cdot r + a_{1} + 6 \cdot r = 34 \\ a_{1} + 3 \cdot r + a_{1} + 8 \cdot r = 50 \end{cases}$

$ \begin{cases} 2 \cdot a_{1} + 7 \cdot r = 34 \\ 2 \cdot a_{1} + 11 \cdot r = 50 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 4 \cdot r = 16 $
$ r = 4 $

cum \( r = 4 \), se obține:
\( 2 \cdot a_{1} + 7 \cdot 4 = 34 \)
\( 2 \cdot a_{1} + 28 = 34 \)
\( 2 \cdot a_{1} = 34 - 28 \)
\( 2 \cdot a_{1} = 6 \)
\( a_{1} = 3 \).

exerciții

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \),
cu \( a_{5} + a_{12} = 59 \) și \( a_{9} + a_{13} = 74 \).
Primul termen și rația progresiei sunt:

 \( a_1 = \) 
 \( r = \) 

 


exercițiu nou

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \), cu \( a_{5} + a_{12} = 59 \) și \( a_{9} + a_{13} = 74 \).
Primul termen și rația progresiei sunt: \( a_1 = 7 \) și \( r = 3 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{5} + a_{12} = 59 \\ a_{9} + a_{13} = 74 \end{cases}$

$ \begin{cases} \big[ a_{1} + (5-1) \cdot r \big] + \big[ a_{1} + (12-1) \cdot r \big] = 59 \\ \big[ a_{1} + (9-1) \cdot r \big] + \big[ a_{1} + (13-1) \cdot r \big] = 74 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 4 \cdot r + a_{1} + 11 \cdot r = 59 \\ a_{1} + 8 \cdot r + a_{1} + 12 \cdot r = 74 \end{cases}$

$ \begin{cases} 2 \cdot a_{1} + 15 \cdot r = 59 \\ 2 \cdot a_{1} + 20 \cdot r = 74 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 5 \cdot r = 15 $
$ r = 3 $

cum \( r = 3 \), se obține:
\( 2 \cdot a_{1} + 15 \cdot 3 = 59 \)
\( 2 \cdot a_{1} + 45 = 59 \)
\( 2 \cdot a_{1} = 59 - 45 \)
\( 2 \cdot a_{1} = 14 \)
\( a_{1} = 7 \).