Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 18


teorie
Formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

exemple
Determinați primul termen și rația unei progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( a_{4} = 15 \) și \( a_{17} = 67 \).

Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{4} = 15 \\ a_{17} = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (4-1) \cdot r = 15 \\ a_{1} + (17-1) \cdot r = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 3 \cdot r = 15 \\ a_{1} + 16 \cdot r = 67 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 13 \cdot r = 52 $
$ r = 4 $

cum \( r = 4 \), se obține:
\( a_{1} + 3 \cdot 4 = 15 \)
\( a_{1} + 12 = 15 \)
\( a_{1} = 15 - 12 \)
\( a_{1} = 3 \).

exerciții

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \), cu \( a_{3} = 9 \) și \( a_{15} = 33 \).
Primul termen și rația progresiei sunt:

 \( a_1 = \) 
 \( r = \) 

 


exercițiu nou

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \), cu \( a_{3} = 9 \) și \( a_{15} = 33 \).
Primul termen și rația progresiei sunt: \( a_1 = 5 \) și \( r = 2 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{3} = 9 \\ a_{15} = 33 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (3-1) \cdot r = 9 \\ a_{1} + (15-1) \cdot r = 33 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 2 \cdot r = 9 \\ a_{1} + 14 \cdot r = 33 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 12 \cdot r = 24 $
$ r = 2 $

cum \( r = 2 \), se obține:
\( a_{1} + 2 \cdot 2 = 9 \)
\( a_{1} + 4 = 9 \)
\( a_{1} = 9 - 4 \)
\( a_{1} = 5 \).