Matematică >> lungimea unui segment >> 3
\( \definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \definecolor{blue}{RGB}{0,0,255} \definecolor{black}{RGB}{0,0,0} \definecolor{grey}{RGB}{115,115,115} \definecolor{pink}{RGB}{249,76,177} \definecolor{violet}{RGB}{173,18,212} \)
punctele \( A(\color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A \color{grey}) \), \( B(\color{pink}x_B \color{grey}, \color{violet}y_B \color{grey}) \) și \( C(\color{pink}x_C \color{grey}, \color{violet}y_C \color{grey}) \),
să se determine lungimea medianei corespunzătoare vârfului \(A\).
Mediana este segmentul care unește vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
Se determină coordonatele punctului \( M(\color{red}x_M \color{grey}, \color{blue}y_M \color{grey}) \), mijlocul segmentului \(BC\).
Se calculează lungimea segmentului \(AM\).
cu \( A(\color{red}-3 \color{grey}, \color{blue}2 \color{grey}) \), \( B(\color{pink}5 \color{grey}, \color{violet}-1 \color{grey}) \) și \( C(\color{pink}3 \color{grey}, \color{violet}7 \color{grey}) \).
Rezolvare:
Folosind formulele coordonatelor mijlocului segmentului \(BC\),
se determină coordonatele punctului \( M(\color{red}x_M \color{grey}, \color{blue}y_M \color{grey}) \), mijlocul segmentului \(BC\):
\( \displaystyle x_M = \frac{\color{pink}x_B \color{grey}+ \color{pink}x_C }{2} \) și \( \displaystyle y_M = \frac{\color{violet}y_B \color{grey}+ \color{violet}y_C }{2} \),
se obține:
\( \displaystyle x_M = \frac{\color{pink}5 \color{grey}+ \color{pink}3 }{2} = \frac{8}{2} = \color{red} 4 \)
și
\( \displaystyle y_M = \frac{\color{violet}-1 \color{grey}+ \color{violet}7 }{2} = \frac{6}{2} = \color{blue} 3 \),
deci \( M(\color{red}4 \color{grey}, \color{blue} 3 \color{grey}) \).
Folosind formula lungimii segmentului \(AM\):
\( AM = \sqrt{ (\color{red} x_A \color{grey} - \color{red}x_M \color{grey})^2 + ( \color{blue}y_A \color{grey}- \color{blue}y_M \color{grey})^2 }\)
se obține:
\( AM = \sqrt{ (\color{red} -3 \color{grey} - \color{red}4 \color{grey})^2 + ( \color{blue}2 \color{grey}- \color{blue}3 \color{grey})^2 }\)
deci
\( AM = \sqrt{ (-7)^2 + ( -1)^2 }\)
\( AM = \sqrt{ 49 + 1 }\)
\( AM = \sqrt{ 50 }\)
\( AM = 5\sqrt{ 2 }\).
Lungimea medianei \(AM\), corespunzătoare vârfului \(A\) al triunghiului \(ABC\),
cu
\( A(\color{red}3 \color{grey}, \color{blue} - 4 \color{grey}) \),
\( B(\color{pink}1 \color{grey}, \color{violet}9 \color{grey}) \) și
\( C(\color{pink} - 7 \color{grey}, \color{violet}1 \color{grey}) \)
este:
exercițiu nou
Folosind formulele coordonatelor mijlocului segmentului \(BC\),
se determină coordonatele punctului \( M(\color{red}x_M \color{grey}, \color{blue}y_M \color{grey}) \), mijlocul segmentului \(BC\),
cu
\( B(\color{pink}1 \color{grey}, \color{violet}9 \color{grey}) \) și
\( C(\color{pink} - 7 \color{grey}, \color{violet}1 \color{grey}) \):
\( \displaystyle x_M = \frac{\color{pink}x_B \color{grey}+ \color{pink}x_C }{2} \) și
\( \displaystyle y_M = \frac{\color{violet}y_B \color{grey}+ \color{violet}y_C }{2} \),
se obține:
\( \displaystyle x_M = \frac{\color{pink} 1 \color{grey}+ \color{pink}(-7) }{2} = \frac{ - 6}{2} = \color{red} - 3 \)
și
\( \displaystyle y_M = \frac{\color{violet} 9 \color{grey}+ \color{violet}1 }{2} = \frac{ 10}{2} = \color{blue} 5 \) ,
deci \( M(\color{red}-3 \color{grey}, \color{blue} 5 \color{grey}) \).
Folosind formula lungimii segmentului \(AM\):
\( AM = \sqrt{ (\color{red} x_A \color{grey} - \color{red}x_M \color{grey})^2 + ( \color{blue}y_A \color{grey}- \color{blue}y_M \color{grey})^2 }\),
cu
\( A(\color{red}3 \color{grey}, \color{blue} - 4 \color{grey}) \) și
\( M(\color{red}-3 \color{grey}, \color{blue} 5 \color{grey}) \),
se obține:
\( AM = \sqrt{ (\color{red} 3 \color{grey} - \color{red}(-3) \color{grey})^2 + ( \color{blue}-4 \color{grey}- \color{blue}5 \color{grey})^2 }\)
deci
\( AM = \sqrt{ (3 + 3)^2 + (-4 - 5)^2 }\)
\( AM = \sqrt{ 6^2 + (-9)^2 }\)
\( AM = \sqrt{ 36 + 81 }\)
\( AM = \sqrt{117}\)
\( AM = 3\sqrt{13}\).