Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $.
O pereche de numere \( a, b \in \mathbb{Q \setminus Z} \) astfel încât \( a * b \in \mathbb{N} \) este:

Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $.
Daţi un exemplu de numere \( a, b \in \mathbb{Q \setminus Z} \) astfel încât \( a * b \in \mathbb{N} \).

Soluție:

Se aleg un număr \( \displaystyle a = \frac{1}{7} \in \mathbb{Q \setminus Z} \)
și un număr \( \displaystyle a * b = 9 \in \mathbb{N} \),
apoi se rezolvă ecuația
\( \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{7} * b & = 9 \\\ \frac{1}{7} \cdot b -3 \cdot \frac{1}{7} -3\cdot b + 12 & = 9 \\\ b -3-21\cdot b + 84 & = 63 \\\ b -21\cdot b & = 63 + 3 - 84 \\\ -20\cdot b & = -18 \\\ b & = \frac{-18}{-20} \\\ b & = \frac{9}{10} \in \mathbb{Q \setminus Z} \end{aligned} \)

Observație:
În cazul în care pentru \( a \in \mathbb{Q \setminus Z} \) și \( a * b \in \mathbb{N} \) alese inițial nu se obține \( b \in \mathbb{Q \setminus Z} \),
se reia procedeul schimbând una dintre valorile inițiale (sau chiar ambele valori).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $. Daţi un exemplu de numere \( a, b \in \mathbb{Q \setminus Z} \) astfel încât \( a * b \in \mathbb{N} \).\( \newline \) Soluție:\( \newline \) Se aleg un număr \( \displaystyle a = \frac{1}{7} \in \mathbb{Q \setminus Z} \) și un număr \( \displaystyle a * b = 9 \in \mathbb{N} \), apoi se rezolvă ecuația \( \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{7} * b & = 9 \\\ \frac{1}{7} \cdot b -3 \cdot \frac{1}{7} -3\cdot b + 12 & = 9 \\\ b -3-21\cdot b + 84 & = 63 \\\ b -21\cdot b & = 63 + 3 - 84 \\\ -20\cdot b & = -18 \\\ b & = \frac{-18}{-20} \\\ b & = \frac{9}{10} \in \mathbb{Q \setminus Z} \end{aligned} \) Observație: În cazul în care pentru \( a \in \mathbb{Q \setminus Z} \) și \( a * b \in \mathbb{N} \) alese inițial nu se obține \( b \in \mathbb{Q \setminus Z} \), se reia procedeul schimbând una dintre valorile inițiale (sau chiar ambele valori). \vspace{2mm} \end{document}


Doar problema în format .tex
Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $. Daţi un exemplu de numere \( a, b \in \mathbb{Q \setminus Z} \) astfel încât \( a * b \in \mathbb{N} \).\( \newline \) Soluție:\( \newline \) Se aleg un număr \( \displaystyle a = \frac{1}{7} \in \mathbb{Q \setminus Z} \) și un număr \( \displaystyle a * b = 9 \in \mathbb{N} \), apoi se rezolvă ecuația \( \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{7} * b & = 9 \\\ \frac{1}{7} \cdot b -3 \cdot \frac{1}{7} -3\cdot b + 12 & = 9 \\\ b -3-21\cdot b + 84 & = 63 \\\ b -21\cdot b & = 63 + 3 - 84 \\\ -20\cdot b & = -18 \\\ b & = \frac{-18}{-20} \\\ b & = \frac{9}{10} \in \mathbb{Q \setminus Z} \end{aligned} \) Observație: În cazul în care pentru \( a \in \mathbb{Q \setminus Z} \) și \( a * b \in \mathbb{N} \) alese inițial nu se obține \( b \in \mathbb{Q \setminus Z} \), se reia procedeul schimbând una dintre valorile inițiale (sau chiar ambele valori).