Matematică >> Legi de compoziție >> 1

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $.
Este mulţimea $ G = (2, \infty ) $ parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $?

exercițiu nou

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $.
Este mulţimea $ G = (2, \infty ) $ parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $?

Soluție:

$ G = (2, \infty ) $ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $
$ \Leftrightarrow $
$ \forall x, y \in (2, \infty ) \Rightarrow x * y \in (2, \infty ) $

Fie

$ \displaystyle \begin{aligned} x, y \in (2, \infty ) & \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\\ y > 2 \end{cases} \\\ & \Rightarrow \begin{cases} x - 2 > 0\\\ y - 2 > 0 \end{cases} \\\ & \Rightarrow (x-2)(y -2) > 0 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 4 > 0 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 4 + 2 > 2 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 6 > 2 \\\ & \Rightarrow x * y > 2 \\\ & \Rightarrow x * y \in (2, \infty ), \forall x, y \in (2, \infty ) , \end{aligned} $

deci $ G = (2, \infty ) $ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $.

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $. Verificaţi dacă mulţimea $ G = (2, \infty ) $ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ $ G = (2, \infty ) $ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $ $ \Leftrightarrow $ $ \forall x, y \in (2, \infty ) \Rightarrow x * y \in (2, \infty ) $ Fie $ \displaystyle \begin{aligned} x, y \in (2, \infty ) & \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ y > 2 \end{cases} \\\ & \Rightarrow \begin{cases} x - 2 > 0\\ y - 2 > 0 \end{cases} \\\ & \Rightarrow (x-2)(y -2) > 0 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 4 > 0 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 4 + 2 > 2 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 6 > 2 \\\ & \Rightarrow x * y > 2 \\\ & \Rightarrow x * y \in (2, \infty ), \forall x, y \in (2, \infty ) , \end{aligned} $ deci $ G = (2, \infty ) $ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $. \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $. Verificaţi dacă mulţimea $ G = (2, \infty ) $ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ $ G = (2, \infty ) $ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $ $ \Leftrightarrow $ $ \forall x, y \in (2, \infty ) \Rightarrow x * y \in (2, \infty ) $ Fie $ \displaystyle \begin{aligned} x, y \in (2, \infty ) & \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ y > 2 \end{cases} \\\ & \Rightarrow \begin{cases} x - 2 > 0\\ y - 2 > 0 \end{cases} \\\ & \Rightarrow (x-2)(y -2) > 0 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 4 > 0 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 4 + 2 > 2 \\\ & \Rightarrow xy -2x -2y + 6 > 2 \\\ & \Rightarrow x * y > 2 \\\ & \Rightarrow x * y \in (2, \infty ), \forall x, y \in (2, \infty ) , \end{aligned} $ deci $ G = (2, \infty ) $ este parte stabilă în raport cu legea de compoziție $ * $.