Matematică >> Legi de compoziție >> 1

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $.
Are loc egalitatea $ \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x - 3 )^n + 3 $, $ \forall x \in \mathbb{R} $, $ \forall n \in \mathbb{N^*} $?

Soluție:

Se demonstrează folosind inducția matematică.
Fie $ \displaystyle P(n): \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x -3 )^n + 3 $

Etapa de verificare:
$ \displaystyle P(1): x = ( x -3 )^1 + 3 $ - adevărat

$ \displaystyle P(2): x * x = ( x -3 )^2 + 3 $ - adevărat

Etapa de inducție:
Se presupune că propoziția $ P(k) $ este adevărată.
$ \displaystyle P(k): \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad k \quad ori} = ( x -3 )^k + 3 $

Se demonstrează că propoziția $ P(k+1) $ este adevărată.
$ \displaystyle P(k+1): \underbrace {x * x * ... * x * x}_{de \quad k+1 \quad ori} = ( x -3 )^{k+1} + 3 $

$ \displaystyle \begin{aligned} \underbrace {x * x * ... * x * x}_{de \quad k+1 \quad ori} & = ( \underbrace {x * x * ... * x }_{de \quad k \quad ori} ) * x = \\\ & = [ ( x -3 )^k + 3 ] * x = \\\ & = \{ [ ( x -3 )^k + 3 ] -3\}( x -3 ) + 3 = \\\ & = \{ ( x -3 )^k + 3-3\}( x -3 ) + 3 = \\\ & = \{ ( x -3 )^k \}( x -3 ) + 3 = \\\ & = ( x -3 )^{k+1} + 3. \end{aligned} $

S-a obținut că propoziția $ P(k+1) $ este adevărată,
deci conform metodei inducției matematice propoziția $ P(n) $ este adevărată $ \forall n \in \mathbb{N^*} $.

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $. Verificaţi dacă are loc egalitatea $ \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x - 3 )^n + 3 $, $ \forall x \in \mathbb{R} $, $ \forall n \in \mathbb{N^*} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Se demonstrează folosind inducția matematică. Fie $ \displaystyle P(n): \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x -3 )^n + 3 $ Etapa de verificare: $ \displaystyle P(1): x = ( x -3 )^1 + 3 $ - adevărat $ \displaystyle P(2): x * x = ( x -3 )^2 + 3 $ - adevărat Etapa de inducție: Se presupune că propoziția $ P(k) $ este adevărată. $ \displaystyle P(k): \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad k \quad ori} = ( x -3 )^k + 3 $ Se demonstrează că propoziția $ P(k+1) $ este adevărată. $ \displaystyle P(k+1): \underbrace {x * x * ... * x * x}_{de \quad k+1 \quad ori} = ( x -3 )^{k+1} + 3 $ $ \displaystyle \begin{aligned} \underbrace {x * x * ... * x * x}_{de \quad k+1 \quad ori} & = ( \underbrace {x * x * ... * x }_{de \quad k \quad ori} ) * x = \\\ & = [ ( x -3 )^k + 3 ] * x = \\\ & = \{ [ ( x -3 )^k + 3 ] -3\}( x -3 ) + 3 = \\\ & = \{ ( x -3 )^k + 3-3\}( x -3 ) + 3 = \\\ & = \{ ( x -3 )^k \}( x -3 ) + 3 = \\\ & = ( x -3 )^{k+1} + 3. \end{aligned} $ S-a obținut că propoziția $ P(k+1) $ este adevărată, deci conform metodei inducției matematice propoziția $ P(n) $ este adevărată $ \forall n \in \mathbb{N^*} $. \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $. Verificaţi dacă are loc egalitatea $ \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x - 3 )^n + 3 $, $ \forall x \in \mathbb{R} $, $ \forall n \in \mathbb{N^*} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Se demonstrează folosind inducția matematică. Fie $ \displaystyle P(n): \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x -3 )^n + 3 $ Etapa de verificare: $ \displaystyle P(1): x = ( x -3 )^1 + 3 $ - adevărat $ \displaystyle P(2): x * x = ( x -3 )^2 + 3 $ - adevărat Etapa de inducție: Se presupune că propoziția $ P(k) $ este adevărată. $ \displaystyle P(k): \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad k \quad ori} = ( x -3 )^k + 3 $ Se demonstrează că propoziția $ P(k+1) $ este adevărată. $ \displaystyle P(k+1): \underbrace {x * x * ... * x * x}_{de \quad k+1 \quad ori} = ( x -3 )^{k+1} + 3 $ $ \displaystyle \begin{aligned} \underbrace {x * x * ... * x * x}_{de \quad k+1 \quad ori} & = ( \underbrace {x * x * ... * x }_{de \quad k \quad ori} ) * x = \\\ & = [ ( x -3 )^k + 3 ] * x = \\\ & = \{ [ ( x -3 )^k + 3 ] -3\}( x -3 ) + 3 = \\\ & = \{ ( x -3 )^k + 3-3\}( x -3 ) + 3 = \\\ & = \{ ( x -3 )^k \}( x -3 ) + 3 = \\\ & = ( x -3 )^{k+1} + 3. \end{aligned} $ S-a obținut că propoziția $ P(k+1) $ este adevărată, deci conform metodei inducției matematice propoziția $ P(n) $ este adevărată $ \forall n \in \mathbb{N^*} $.