Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -9 x -9 y + 90 $.
Legea de compoziție $ * $ admite, pe \( \mathbb{R} \), elemente simetrizabile:

Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -9 x -9 y + 90 $. Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite elemente simetrizabile pe \( \mathbb{R} \).

Soluție:

Un element \( x \in \mathbb{R} \) este simetrizabil în raport cu legea de compoziție \( * \)
\( \Leftrightarrow \)
pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât \(x * x' = x' * x = e \).

Comutativitatea legii de compoziție \( * \) asigură egalitatea \(x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} \).

\( \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -9x -9x' + 90 = 10 \\\ & \Leftrightarrow xx' -9x -9x' + 90 = 10 \\\ & \Leftrightarrow xx' -9x' = 10 + 9x -90 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -9 ) = 9x -80 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{9x -80}{x -9}, x \neq 9 \end{aligned} \)

Se mai verifică dacă pentru \(x \neq 9 \), atunci
\( \displaystyle \begin{aligned} \frac{9x -80}{x -9} \neq 9 & \Leftrightarrow 9x -80 \neq 9(x -9) \\\ & \Leftrightarrow 9x -80 \neq 9x -81 \\\ & \Leftrightarrow -80 \neq -81. \end{aligned} \)

Deci orice element \( x \in \mathbb{R} \setminus \{9\} \) este simetrizabil și are simetricul \( \displaystyle x' = \frac{9x -80}{x -9} \in \mathbb{R} \setminus \{9 \} \).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -9 x -9 y + 90 $. Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite elemente simetrizabile pe \( \mathbb{R} \).\( \newline \) Soluție:\( \newline \) Un element \( x \in \mathbb{R} \) este simetrizabil în raport cu legea de compoziție \( * \) \( \Leftrightarrow \) pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât \(x * x' = x' * x = e \). Comutativitatea legii de compoziție \( * \) asigură egalitatea \(x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} \). \( \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -9x -9x' + 90 = 10 \\\ & \Leftrightarrow xx' -9x -9x' + 90 = 10 \\\ & \Leftrightarrow xx' -9x' = 10 + 9x -90 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -9 ) = 9x -80 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{9x -80}{x -9}, x \neq 9 \end{aligned} \) Se mai verifică dacă pentru \(x \neq 9 \), atunci \( \displaystyle \begin{aligned} \frac{9x -80}{x -9} \neq 9 & \Leftrightarrow 9x -80 \neq 9(x -9) \\\ & \Leftrightarrow 9x -80 \neq 9x -81 \\\ & \Leftrightarrow -80 \neq -81. \end{aligned} \) Deci orice element \( x \in \mathbb{R} \setminus \{9\} \) este simetrizabil și are simetricul \( \displaystyle x' = \frac{9x -80}{x -9} \in \mathbb{R} \setminus \{9 \} \). \vspace{2mm} \end{document}


Doar problema în format .tex
Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -9 x -9 y + 90 $. Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite elemente simetrizabile pe \( \mathbb{R} \).\( \newline \) Soluție:\( \newline \) Un element \( x \in \mathbb{R} \) este simetrizabil în raport cu legea de compoziție \( * \) \( \Leftrightarrow \) pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât \(x * x' = x' * x = e \). Comutativitatea legii de compoziție \( * \) asigură egalitatea \(x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} \). \( \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -9x -9x' + 90 = 10 \\\ & \Leftrightarrow xx' -9x -9x' + 90 = 10 \\\ & \Leftrightarrow xx' -9x' = 10 + 9x -90 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -9 ) = 9x -80 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{9x -80}{x -9}, x \neq 9 \end{aligned} \) Se mai verifică dacă pentru \(x \neq 9 \), atunci \( \displaystyle \begin{aligned} \frac{9x -80}{x -9} \neq 9 & \Leftrightarrow 9x -80 \neq 9(x -9) \\\ & \Leftrightarrow 9x -80 \neq 9x -81 \\\ & \Leftrightarrow -80 \neq -81. \end{aligned} \) Deci orice element \( x \in \mathbb{R} \setminus \{9\} \) este simetrizabil și are simetricul \( \displaystyle x' = \frac{9x -80}{x -9} \in \mathbb{R} \setminus \{9 \} \).