Matematică >> Legi de compoziție >> 1
Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -7 x -7 y + 56 $.
Legea de compoziție $ * $ admite, pe \( \mathbb{R} \), elemente simetrizabile:
exercițiu nou
Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -7 x -7 y + 56 $.
Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite elemente simetrizabile pe \( \mathbb{R} \).
Soluție:
Un element \( x \in \mathbb{R} \) este simetrizabil în raport cu legea de compoziție \( * \)
\( \Leftrightarrow \)
pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât \(x * x' = x' * x = e \).
Comutativitatea legii de compoziție \( * \) asigură egalitatea \(x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} \).
\( \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e
& \Leftrightarrow xx' -7x -7x' + 56 = 8
\\\ & \Leftrightarrow xx' -7x -7x' + 56 = 8 \\\ & \Leftrightarrow xx' -7x' = 8 + 7x -56
\\\ & \Leftrightarrow x' ( x -7 ) = 7x -48
\\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{7x -48}{x -7}, x \neq 7 \end{aligned} \)
Se mai verifică dacă pentru \(x \neq 7 \), atunci
\( \displaystyle \begin{aligned} \frac{7x -48}{x -7} \neq 7
& \Leftrightarrow 7x -48 \neq 7(x -7)
\\\ & \Leftrightarrow 7x -48 \neq 7x -49 \\\ & \Leftrightarrow -48 \neq -49.
\end{aligned} \)
Deci orice element \( x \in \mathbb{R} \setminus \{7\} \) este simetrizabil și are simetricul \( \displaystyle x' = \frac{7x -48}{x -7} \in \mathbb{R} \setminus \{7 \} \).
***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***
Întregul fișier .tex
Doar problema în format .tex