Legi de compoziție

Exerciții și probleme... Legi de compoziție.

Matematică >> Legi de compoziție >> 1


exerciții
exercițiu nou

Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -6 x -6 y + 42 $.
Legea de compoziție $ * $ admite, pe \( \mathbb{R} \), elemente simetrizabile:

  orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{6\} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziţie $ * $ şi are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{6x+36}{x-6} $

  legea de compoziţie $ * $ nu admite elemente simetrizabile pe $ \mathbb{R} $

  orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{6\} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziţie $ * $ şi are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{6x+35}{x-6} $

  orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-6\} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziţie $ * $ şi are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{6x-36}{x+6} $

  orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{6\} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziţie $ * $ şi are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{6x-35}{x-6} $



 


exercițiu nou

Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -6 x -6 y + 42 $. Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite elemente simetrizabile pe \( \mathbb{R} \).

Soluție:

Un element \( x \in \mathbb{R} \) este simetrizabil în raport cu legea de compoziție \( * \)
\( \Leftrightarrow \)
pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât \(x * x' = x' * x = e \).

Comutativitatea legii de compoziție \( * \) asigură egalitatea \(x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} \).

\( \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -6x -6x' + 42 = 7 \\\ & \Leftrightarrow xx' -6x -6x' + 42 = 7 \\\ & \Leftrightarrow xx' -6x' = 7 + 6x -42 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -6 ) = 6x -35 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{6x -35}{x -6}, x \neq 6 \end{aligned} \)

Se mai verifică dacă pentru \(x \neq 6 \), atunci
\( \displaystyle \begin{aligned} \frac{6x -35}{x -6} \neq 6 & \Leftrightarrow 6x -35 \neq 6(x -6) \\\ & \Leftrightarrow 6x -35 \neq 6x -36 \\\ & \Leftrightarrow -35 \neq -36. \end{aligned} \)

Deci orice element \( x \in \mathbb{R} \setminus \{6\} \) este simetrizabil și are simetricul \( \displaystyle x' = \frac{6x -35}{x -6} \in \mathbb{R} \setminus \{6 \} \).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex



Doar problema în format .tex