Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $.
Legea de compoziție $ * $ admite, pe \( \mathbb{R} \), elementul neutru:

Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $.
Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite element neutru pe \( \mathbb{R} \).

Soluție:

Legea de compoziție \( * \) admite element neutru pe \( \mathbb{R} \)
\( \Leftrightarrow \)
\( \exists e \in \mathbb{R} \) astfel încât \(x * e = e * x = x, \forall x \in \mathbb{R} \).

Comutativitatea legii de compoziție \( * \) asigură egalitatea \(x * e = e * x, \forall x \in \mathbb{R} \).

\( \displaystyle \begin{aligned} x * e = x & \Leftrightarrow xe -3x -3e + 12 = x, \forall x \in \mathbb{R} \\\ & \Leftrightarrow xe -3x -3e + 12 = x \\\ & \Leftrightarrow xe -3e = x + 3x -12 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -3 ) = 4x -12 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -3 ) = 4 ( x -3) \\\ & \Leftrightarrow e = 4, x \neq 3 \end{aligned} \)

Se mai verifică dacă \(3 * 4 = 4 * 3 = 3 \), egalități care au loc.

Deci legea de compoziție \( * \) admite, pe \( \mathbb{R} \), elementul neutru \( e = 4 \).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $. Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite element neutru pe \( \mathbb{R} \).\( \newline \) Soluție:\( \newline \) Legea de compoziție \( * \) admite element neutru pe \( \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \) \( \exists e \in \mathbb{R} \) astfel încât \(x * e = e * x = x, \forall x \in \mathbb{R} \). Comutativitatea legii de compoziție \( * \) asigură egalitatea \(x * e = e * x, \forall x \in \mathbb{R} \). \( \displaystyle \begin{aligned} x * e = x & \Leftrightarrow xe -3x -3e + 12 = x, \forall x \in \mathbb{R} \\\ & \Leftrightarrow xe -3x -3e + 12 = x \\\ & \Leftrightarrow xe -3e = x + 3x -12 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -3 ) = 4x -12 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -3 ) = 4 ( x -3) \\\ & \Leftrightarrow e = 4, x \neq 3 \end{aligned} \) Se mai verifică dacă \(3 * 4 = 4 * 3 = 3 \), egalități care au loc. Deci legea de compoziție \( * \) admite, pe \( \mathbb{R} \), elementul neutru \( e = 4 \). \vspace{2mm} \end{document}


Doar problema în format .tex
Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $. Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite element neutru pe \( \mathbb{R} \).\( \newline \) Soluție:\( \newline \) Legea de compoziție \( * \) admite element neutru pe \( \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \) \( \exists e \in \mathbb{R} \) astfel încât \(x * e = e * x = x, \forall x \in \mathbb{R} \). Comutativitatea legii de compoziție \( * \) asigură egalitatea \(x * e = e * x, \forall x \in \mathbb{R} \). \( \displaystyle \begin{aligned} x * e = x & \Leftrightarrow xe -3x -3e + 12 = x, \forall x \in \mathbb{R} \\\ & \Leftrightarrow xe -3x -3e + 12 = x \\\ & \Leftrightarrow xe -3e = x + 3x -12 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -3 ) = 4x -12 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -3 ) = 4 ( x -3) \\\ & \Leftrightarrow e = 4, x \neq 3 \end{aligned} \) Se mai verifică dacă \(3 * 4 = 4 * 3 = 3 \), egalități care au loc. Deci legea de compoziție \( * \) admite, pe \( \mathbb{R} \), elementul neutru \( e = 4 \).