Matematică >> Legi de compoziție >> 1

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -8 x -8 y + 72 $.
Legea de compoziție $ * $ admite, pe $ \mathbb{R} $, elementul neutru:

exercițiu nou

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -8 x -8 y + 72 $.
Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite element neutru pe $ \mathbb{R} $.

Soluție:

Legea de compoziție $ * $ admite element neutru pe $ \mathbb{R} $
$ \Leftrightarrow $
$ \exists e \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * e = e * x = x, \forall x \in \mathbb{R} $.

Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * e = e * x, \forall x \in \mathbb{R} $.

$ \displaystyle \begin{aligned} x * e = x & \Leftrightarrow xe -8x -8e + 72 = x, \forall x \in \mathbb{R} \\\ & \Leftrightarrow xe -8x -8e + 72 = x \\\ & \Leftrightarrow xe -8e = x + 8x -72 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -8 ) = 9x -72 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -8 ) = 9 ( x -8) \\\ & \Leftrightarrow e = 9, x \neq 8 \end{aligned} $

Se mai verifică dacă $8 * 9 = 9 * 8 = 8 $, egalități care au loc.

Deci legea de compoziție $ * $ admite, pe $ \mathbb{R} $, elementul neutru $ e = 9 $.

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -8 x -8 y + 72 $. Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite element neutru pe $ \mathbb{R} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Legea de compoziție $ * $ admite element neutru pe $ \mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow $ $ \exists e \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * e = e * x = x, \forall x \in \mathbb{R} $. Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * e = e * x, \forall x \in \mathbb{R} $. $ \displaystyle \begin{aligned} x * e = x & \Leftrightarrow xe -8x -8e + 72 = x, \forall x \in \mathbb{R} \\\ & \Leftrightarrow xe -8x -8e + 72 = x \\\ & \Leftrightarrow xe -8e = x + 8x -72 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -8 ) = 9x -72 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -8 ) = 9 ( x -8) \\\ & \Leftrightarrow e = 9, x \neq 8 \end{aligned} $ Se mai verifică dacă $8 * 9 = 9 * 8 = 8 $, egalități care au loc. Deci legea de compoziție $ * $ admite, pe $ \mathbb{R} $, elementul neutru $ e = 9 $. \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -8 x -8 y + 72 $. Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite element neutru pe $ \mathbb{R} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Legea de compoziție $ * $ admite element neutru pe $ \mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow $ $ \exists e \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * e = e * x = x, \forall x \in \mathbb{R} $. Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * e = e * x, \forall x \in \mathbb{R} $. $ \displaystyle \begin{aligned} x * e = x & \Leftrightarrow xe -8x -8e + 72 = x, \forall x \in \mathbb{R} \\\ & \Leftrightarrow xe -8x -8e + 72 = x \\\ & \Leftrightarrow xe -8e = x + 8x -72 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -8 ) = 9x -72 \\\ & \Leftrightarrow e ( x -8 ) = 9 ( x -8) \\\ & \Leftrightarrow e = 9, x \neq 8 \end{aligned} $ Se mai verifică dacă $8 * 9 = 9 * 8 = 8 $, egalități care au loc. Deci legea de compoziție $ * $ admite, pe $ \mathbb{R} $, elementul neutru $ e = 9 $.