Matematică >> Legi de compoziție >> 1

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -4 x -4 y + 20 $.
Ecuația $ x * x * x = x $ are, în $ \mathbb{R} $, soluţia:

exercițiu nou

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -4 x -4 y + 20 $.
Rezolvaţi în $ \mathbb{R} $ ecuaţia $ x * x * x = x $.

Soluție:

Conform i)
are loc egalitatea $ \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x -4 )^n + 4 $, $ \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N^*} $,
iar pentru $ n = 3 $ se obține:
$ \displaystyle \begin{aligned} x * x * x = x & \Leftrightarrow ( x -4 )^3 + 4 = x \\\ & \Leftrightarrow ( x -4 )^3 = x -4 \end{aligned} $

Se observă că $ x = 4 \in \mathbb{R} $ este soluție,
iar pentru $ x \neq 4 $, prin împărţire cu $ x - 4 $, ecuația devine:

$ (x-4)^2 = 1 $
$ x-4 = \pm 1 $

$ \displaystyle \begin{aligned} x-4& = 1 \qquad \qquad & x-4& = -1 \\\ x & = 5 & x & = 3 \end{aligned}$

$ S = \{ 3, 4, 5 \} $.

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -4 x -4 y + 20 $. Rezolvaţi în $ \mathbb{R} $ ecuaţia $ x * x * x = x $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Conform i) are loc egalitatea $ \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x -4 )^n + 4 $, $ \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N^*} $, iar pentru $ n = 3 $ se obține: $ \displaystyle \begin{aligned} x * x * x = x & \Leftrightarrow ( x -4 )^3 + 4 = x \\\ & \Leftrightarrow ( x -4 )^3 = x -4 \end{aligned} $ Se observă că $ x = 4 \in \mathbb{R} $ este soluție, iar pentru $ x \neq 4 $, prin împărţire cu $ x - 4 $, ecuația devine: $ (x-4)^2 = 1 $ $ x-4 = \pm 1 $ $ \displaystyle \begin{aligned} x-4& = 1 \qquad \qquad & x-4& = -1 \\\ x & = 5 & x & = 3 \end{aligned}$ $ S = \{ 3, 4, 5 \} $. \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -4 x -4 y + 20 $. Rezolvaţi în $ \mathbb{R} $ ecuaţia $ x * x * x = x $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Conform i) are loc egalitatea $ \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x -4 )^n + 4 $, $ \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N^*} $, iar pentru $ n = 3 $ se obține: $ \displaystyle \begin{aligned} x * x * x = x & \Leftrightarrow ( x -4 )^3 + 4 = x \\\ & \Leftrightarrow ( x -4 )^3 = x -4 \end{aligned} $ Se observă că $ x = 4 \in \mathbb{R} $ este soluție, iar pentru $ x \neq 4 $, prin împărţire cu $ x - 4 $, ecuația devine: $ (x-4)^2 = 1 $ $ x-4 = \pm 1 $ $ \displaystyle \begin{aligned} x-4& = 1 \qquad \qquad & x-4& = -1 \\\ x & = 5 & x & = 3 \end{aligned}$ $ S = \{ 3, 4, 5 \} $.