Matematică >> Legi de compoziție >> 1

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $.
Este legea de compoziție $ * $ asociativă pe $ \mathbb{R} $?

exercițiu nou

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $.
Este legea de compoziție $ * $ asociativă pe $ \mathbb{R} $?

Soluție:

Legea de compoziție $ * $ este asociativă pe $ \mathbb{R} $
$ \Leftrightarrow $
$(x * y) * z = x * (y * z), \forall x, y, z \in \mathbb{R} $

$ \displaystyle \begin{aligned} (x * y) * z & = ( xy -2x -2y + 6 ) * z = \\\ & = ( xy -2x -2y + 6 ) z -2 ( xy -2x -2y + 6 ) -2 z + 6 = \\\ & = xyz -2xz -2yz + 6z -2 xy + 4x + 4y - 12 -2z + 6 = \\\ & = xyz -2xz -2yz -2xy + 4z + 4x + 4y - 6 (1) \end{aligned} $

$ \displaystyle \begin{aligned} x * (y * z) & = x * ( yz -2y -2z + 6 ) = \\\ & = x( yz -2y -2z + 6 ) -2x -2( yz -2y -2z + 6 ) + 6 = \\\ & = xyz -2xy -2xz + 6x -2x -2yz + 4y + 4z - 12 + 6 = \\\ & = xyz -2xy -2xz -2yz + 4x + 4y + 4z - 6 (2) \end{aligned} $

din $ (1) $ și $ (2) \Rightarrow $ legea de compoziție $ * $ este asociativă pe $ \mathbb{R} $.

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $. Verificaţi dacă legea de compoziție $ * $ este asociativă pe $ \mathbb{R} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Legea de compoziție $ * $ este asociativă pe $ \mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow $ $(x * y) * z = x * (y * z), \forall x, y, z \in \mathbb{R} $ $ \displaystyle \begin{aligned} (x * y) * z & = ( xy -2x -2y + 6 ) * z = \\\ & = ( xy -2x -2y + 6 ) z -2 ( xy -2x -2y + 6 ) -2 z + 6 = \\\ & = xyz -2xz -2yz + 6z -2 xy + 4x + 4y - 12 -2z + 6 = \\\ & = xyz -2xz -2yz -2xy + 4z + 4x + 4y - 6 (1) \end{aligned} $ $ \displaystyle \begin{aligned} x * (y * z) & = x * ( yz -2y -2z + 6 ) = \\\ & = x( yz -2y -2z + 6 ) -2x -2( yz -2y -2z + 6 ) + 6 = \\\ & = xyz -2xy -2xz + 6x -2x -2yz + 4y + 4z - 12 + 6 = \\\ & = xyz -2xy -2xz -2yz + 4x + 4y + 4z - 6 (2) \end{aligned} $ din $ (1) $ și $ (2) \Rightarrow $ legea de compoziție $ * $ este asociativă pe $ \mathbb{R} $. \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $. Verificaţi dacă legea de compoziție $ * $ este asociativă pe $ \mathbb{R} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Legea de compoziție $ * $ este asociativă pe $ \mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow $ $(x * y) * z = x * (y * z), \forall x, y, z \in \mathbb{R} $ $ \displaystyle \begin{aligned} (x * y) * z & = ( xy -2x -2y + 6 ) * z = \\\ & = ( xy -2x -2y + 6 ) z -2 ( xy -2x -2y + 6 ) -2 z + 6 = \\\ & = xyz -2xz -2yz + 6z -2 xy + 4x + 4y - 12 -2z + 6 = \\\ & = xyz -2xz -2yz -2xy + 4z + 4x + 4y - 6 (1) \end{aligned} $ $ \displaystyle \begin{aligned} x * (y * z) & = x * ( yz -2y -2z + 6 ) = \\\ & = x( yz -2y -2z + 6 ) -2x -2( yz -2y -2z + 6 ) + 6 = \\\ & = xyz -2xy -2xz + 6x -2x -2yz + 4y + 4z - 12 + 6 = \\\ & = xyz -2xy -2xz -2yz + 4x + 4y + 4z - 6 (2) \end{aligned} $ din $ (1) $ și $ (2) \Rightarrow $ legea de compoziție $ * $ este asociativă pe $ \mathbb{R} $.