Matematică >> funcţia de gradul întâi >> 4

teorie

Fie funcţia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = \color{red}a \color{dimgray}x \color{blue}+ b \).
Să se calculeze suma \( f(1) + f(2) + \dots + f(n) \), unde \( n \in \mathbb{N} \).

Pentru a calcula suma \( f(1) + f(2) + \dots + f(n) \), se calculează mai întâi valorile funcţiei:
\( f(1) = \color{red}a \color{dimgray} \cdot 1 \color{blue}+ b \)
\( f(2) = \color{red}a \color{dimgray} \cdot 2 \color{blue}+ b \)
\( f(3) = \color{red}a \color{dimgray} \cdot 3 \color{blue}+ b \)
...
\( f(n) = \color{red}a \color{dimgray} \cdot n \color{blue}+ b \)

Se adună aceste valori:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(n) \) = \( (\color{red}a \color{dimgray} \cdot 1 \color{blue}+ b \color{dimgray} ) + (\color{red}a \color{dimgray} \cdot 2 \color{blue}+ b \color{dimgray} ) + (\color{red}a \color{dimgray} \cdot 3 \color{blue}+ b \color{dimgray} ) + \dots + (\color{red}a \color{dimgray} \cdot n \color{blue}+ b \color{dimgray} ) \).

Se regrupează termenii:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(n) \) = \( (\color{red}a \color{dimgray} \cdot 1 + \color{red}a \color{dimgray} \cdot 2 + \color{red}a \color{dimgray} \cdot 3 + \dots + \color{red}a \color{dimgray} \cdot n ) + (\color{blue}b + b + b + \dots + b \color{dimgray}) \).

În prima paranteză se dă factor comun coeficientul \( \color{red}a \),
iar în a doua paranteză suma are \( n \) termeni:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(n) \) = \( \color{red}a \color{dimgray} \cdot ( 1 + 2 + 3 + \dots + n ) + n \cdot \color{blue}b \).

În paranteză se foloseşte formula sumei primelor \( n \) numere naturale:
\( \displaystyle 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)

şi se obţine:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(n) \) = \( \displaystyle \color{red}a \color{dimgray} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \cdot \color{blue}b \).

exemple

Fie funcţia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = \color{red}-3 \color{dimgray}x \color{blue}+ 2 \).
Să se calculeze suma \( f(1) + f(2) + \dots + f(37) \).

Pentru a calcula suma \( f(1) + f(2) + \dots + f(37) \), se calculează mai întâi valorile funcţiei:
\( f(1) = \color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 1 \color{blue}+ 2 \)
\( f(2) = \color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 2 \color{blue}+ 2 \)
\( f(3) = \color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 3 \color{blue}+ 2 \)
...
\( f(37) = \color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 37 \color{blue}+ 2 \)

Se adună aceste valori:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(37) \) \( = \) \( (\color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 1 \color{blue}+ 2 \color{dimgray} ) + (\color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 2 \color{blue}+ 2 \color{dimgray} ) + (\color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 3 \color{blue}+ 2 \color{dimgray} ) + \dots + (\color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 37 \color{blue}+ 2 \color{dimgray} ) \).

Se regrupează termenii:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(37) \) \( = \) \( (\color{red}(-3) \color{dimgray} \cdot 1 + \color{red}(-3) \color{dimgray} \cdot 2 + \color{red}(-3) \color{dimgray} \cdot 3 + \dots + \color{red}(-3) \color{dimgray} \cdot 37 ) + (\color{blue}2 + 2 + 2 + \dots + 2 \color{dimgray}) \).

În prima paranteză se dă factor comun coeficientul \( \color{red}-3 \),
iar în a doua paranteză suma are \( 37 \) termeni:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(37) \) = \( \color{red}-3 \color{dimgray} \cdot ( 1 + 2 + 3 + \dots + 37 ) + 37 \cdot \color{blue}2 \).

În paranteză se foloseşte formula sumei primelor \( n \) numere naturale:
\( \displaystyle 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \),

pentru \( n = 37 \) şi se obţine:
\( \begin{equation} \begin{aligned} f(1) + f(2) + \dots + f(37) &{} = \color{red}-3 \color{dimgray} \cdot \frac{37(37+1)}{2} + 37 \cdot \color{blue}2 \\&{} = \color{red}-3 \color{dimgray} \cdot \frac{37 \cdot 38}{2} + 74 \\&{} = \color{red}-3 \color{dimgray} \cdot 37 \cdot 19 + 74 \\&{} = -2109 + 74 \\&{} = -2035 \end{aligned} \end{equation}\)

exerciții

__exercițiu nou

Fie funcţia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = \color{red} - 2 \color{dimgray}x \color{blue} + 3 \).
Suma \( f(1) + f(2) + ... + f(83) \) este:

exercițiu nou

Fie funcţia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = \color{red} - 2 \color{dimgray}x \color{blue} + 3 \).
Suma \( f(1) + f(2) + ... + f(83) = -6723\).

Pentru a calcula suma \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \), se calculează mai întâi valorile funcţiei:
\( f(1) = \color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 1 \color{blue} + 3 \)
\( f(2) = \color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 2 \color{blue} + 3 \)
\( f(3) = \color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 3 \color{blue} + 3 \)
...
\( f(83) = \color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 83 \color{blue} + 3 \)

Se adună aceste valori:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) \( = \) \( (\color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 1 \color{blue} + 3 \color{dimgray} ) + (\color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 2 \color{blue} + 3 \color{dimgray} ) + (\color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 3 \color{blue} + 3 \color{dimgray} ) + \dots + (\color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 83 \color{blue} + 3 \color{dimgray} ) \).

Se regrupează termenii:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) \( = \) \( (\color{red}(-2) \color{dimgray} \cdot 1 + \color{red}(-2) \color{dimgray} \cdot 2 + \color{red}(-2) \color{dimgray} \cdot 3 + \dots + \color{red}(-2) \color{dimgray} \cdot 83 ) + (\color{blue}3 + 3 + 3 \dots + 3 \color{dimgray}) \).

În prima paranteză se dă factor comun coeficientul \( \color{red}-2 \),
iar în a doua paranteză suma are \( 83 \) termeni:
\( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) = \( \color{red}-2 \color{dimgray} \cdot ( 1 + 2 + 3 + \dots + 83 ) + 83 \cdot \color{blue}3 \).

În paranteză se foloseşte formula sumei primelor \( n \) numere naturale:
\( \displaystyle 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \),

pentru \( n = 83 \) şi se obţine:
\( \begin{equation} \begin{aligned} f(1) + f(2) + \dots + f(83) &{} = \color{red}-2 \color{dimgray} \cdot \frac{83(83+1)}{2} + 83 \cdot \color{blue}3 \\&{} = \color{red}-2 \color{dimgray} \cdot \frac{83 \cdot 84}{2} + 249 \\&{} = \color{red}-2 \color{dimgray} \cdot 83 \cdot 42 + 249 \\&{} = -6972 + 249 \\&{} = -6723 \end{aligned} \end{equation}\)

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Fie funcţia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = - 2 x + 3 \). Calculați suma \( f(1) + f(2) + ... + f(83) \).\( \newline \) Soluție: \( \newline \) Pentru a calcula suma \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \), se calculează mai întâi valorile funcţiei: \( f(1) = -2 \cdot 1 + 3 \) \( f(2) = -2 \cdot 2 + 3 \) \( f(3) = -2 \cdot 3 + 3 \) ... \( f(83) = -2 \cdot 83 + 3 \) \( \newline \) Se adună aceste valori: \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) \( = \) \( (-2 \cdot 1 + 3 ) + (-2 \cdot 2 + 3 ) + (-2 \cdot 3 + 3 ) + \dots + (-2 \cdot 83 + 3 ) \). \( \newline \) Se regrupează termenii: \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) \( = \) \( ((-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + \dots + (-2) \cdot 83 ) + (3 + 3 + 3 \dots + 3 ) \). \( \newline \) În prima paranteză se dă factor comun coeficientul \( -2 \), iar în a doua paranteză suma are \( 83 \) termeni: \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) = \( -2 \cdot ( 1 + 2 + 3 + \dots + 83 ) + 83 \cdot 3 \). \( \newline \) În paranteză se foloseşte formula sumei primelor \( n \) numere naturale: \( \displaystyle 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \), pentru \( n = 83 \) şi se obţine: \( \begin{aligned} f(1) + f(2) + \dots + f(83) &{} = -2 \cdot \frac{83(83+1)}{2} + 83 \cdot 3 \\&{} = -2 \cdot \frac{83 \cdot 84}{2} + 249 \\&{} = -2 \cdot 83 \cdot 42 + 249 \\&{} = -6972 + 249 \\&{} = -6723\end{aligned}\). \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Fie funcţia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = - 2 x + 3 \). Calculați suma \( f(1) + f(2) + ... + f(83) \).\( \newline \) Soluție: \( \newline \) Pentru a calcula suma \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \), se calculează mai întâi valorile funcţiei: \( f(1) = -2 \cdot 1 + 3 \) \( f(2) = -2 \cdot 2 + 3 \) \( f(3) = -2 \cdot 3 + 3 \) ... \( f(83) = -2 \cdot 83 + 3 \) \( \newline \) Se adună aceste valori: \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) \( = \) \( (-2 \cdot 1 + 3 ) + (-2 \cdot 2 + 3 ) + (-2 \cdot 3 + 3 ) + \dots + (-2 \cdot 83 + 3 ) \). \( \newline \) Se regrupează termenii: \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) \( = \) \( ((-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + \dots + (-2) \cdot 83 ) + (3 + 3 + 3 \dots + 3 ) \). \( \newline \) În prima paranteză se dă factor comun coeficientul \( -2 \), iar în a doua paranteză suma are \( 83 \) termeni: \( f(1) + f(2) + \dots + f(83) \) = \( -2 \cdot ( 1 + 2 + 3 + \dots + 83 ) + 83 \cdot 3 \). \( \newline \) În paranteză se foloseşte formula sumei primelor \( n \) numere naturale: \( \displaystyle 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \), pentru \( n = 83 \) şi se obţine: \( \begin{aligned} f(1) + f(2) + \dots + f(83) &{} = -2 \cdot \frac{83(83+1)}{2} + 83 \cdot 3 \\&{} = -2 \cdot \frac{83 \cdot 84}{2} + 249 \\&{} = -2 \cdot 83 \cdot 42 + 249 \\&{} = -6972 + 249 \\&{} = -6723\end{aligned}\).

pro-matematica.ro

Învață matematică!

Funcția de gradul întâi

Matematică >> funcţia de gradul întâi >> 4