Funcţia de gradul întâi, \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = ax + b \),
al cărei grafic trece prin punctele \( A( \color{red} - 1 \color{dimgray}, \color{blue}0 \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia} - 2 \color{dimgray}, \color{darkmagenta} - 3 \color{dimgray}) \), are coeficienţii:

Funcţia de gradul întâi, \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = ax + b \),
al cărei grafic trece prin punctele \( A( \color{red} - 1 \color{dimgray}, \color{blue}0 \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia} - 2 \color{dimgray}, \color{darkmagenta} - 3 \color{dimgray}) \), are coeficienţii:
\( a = 3 \) și \( b = 3 \); \( f(x) = 3x + 3 \).

Deoarece \( A( \color{red} - 1 \color{dimgray}, \color{blue} 0 \color{dimgray}) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( \color{red} - 1 \color{dimgray} ) = \color{blue} 0 \), adică \( a \cdot \color{red}(-1)\color{dimgray} + b = \color{blue} 0 \).
Deoarece \( B( \color{fuchsia} - 2 \color{dimgray}, \color{darkmagenta} - 3 \color{dimgray}) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( \color{fuchsia} - 2 \color{dimgray} ) = \color{darkmagenta} - 3 \), adică \( a \cdot \color{fuchsia}(-2) \color{dimgray} + b = \color{darkmagenta} - 3 \).

Trebuie rezolvat sistemul
\( \displaystyle \begin{cases} a \cdot \color{red}(-1)\color{dimgray} + b = \color{blue} 0\\ a \cdot \color{fuchsia}(-2) \color{dimgray} + b = \color{darkmagenta} - 3 \\ \end{cases}\)

adică
\( \displaystyle \begin{cases} - a + b = 0\\ - 2a + b = - 3 \\ \end{cases}\)

Înmulţind prima ecuaţie cu \( -1 \) se obţine:
\( \displaystyle \begin{cases} a - b = 0\\ - 2a + b = - 3 \\ \end{cases}\)

Adunând cele două ecuaţii se obţine:
\( - a = - 3 \)
\( a = 3 \).

Înlocuind \( a = 3 \) în prima ecuaţie se obţine:
\( - 1 \cdot 3 + b = 0 \)
\( - 3 + b = 0 \)
\( b = 0 + 3 \)
\( b = 3 \).

Deci funcţia căutată este: \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = 3x + 3 \).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Determinați funcţia de gradul întâi, \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = ax + b \), al cărei grafic trece prin punctele \( A( - 1,0) \) și \( B( - 2, - 3) \). \( \newline \) Soluție:\( \newline \) Deoarece \( A( - 1, 0) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( - 1 ) = 0 \), \( \newline \)adică \( a \cdot(-1) + b = 0 \). Deoarece \( B( - 2, - 3) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( - 2 ) = - 3 \), \( \newline \)adică \( a \cdot(-2) + b = - 3 \).\( \newline \) Trebuie rezolvat sistemul \( \displaystyle \begin{cases} a \cdot(-1) + b = 0\\ a \cdot(-2) + b = - 3 \\ \end{cases}\) adică \( \displaystyle \begin{cases} - a + b = 0\\ - 2a + b = - 3 \\ \end{cases}\). Înmulţind prima ecuaţie cu \( -1 \) se obţine: \( \displaystyle \begin{cases} a - b = 0\\ - 2a + b = - 3 \\ \end{cases}\). Adunând cele două ecuaţii se obţine:\( \newline \) \( - a = - 3 \)\( \newline \) \( a = 3 \). Înlocuind \( a = 3 \) în prima ecuaţie se obţine:\( \newline \) \( - 1 \cdot 3 + b = 0 \newline \) \( - 3 + b = 0 \newline \) \( b = 0 + 3 \newline \) \( b = 3 \). Deci funcţia căutată este: \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = 3x + 3 \). \vspace{2mm} \end{document}


Doar problema în format .tex
Determinați funcţia de gradul întâi, \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = ax + b \), al cărei grafic trece prin punctele \( A( - 1,0) \) și \( B( - 2, - 3) \). \( \newline \) Soluție:\( \newline \) Deoarece \( A( - 1, 0) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( - 1 ) = 0 \), \( \newline \)adică \( a \cdot(-1) + b = 0 \). Deoarece \( B( - 2, - 3) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( - 2 ) = - 3 \), \( \newline \)adică \( a \cdot(-2) + b = - 3 \).\( \newline \) Trebuie rezolvat sistemul \( \displaystyle \begin{cases} a \cdot(-1) + b = 0\\ a \cdot(-2) + b = - 3 \\ \end{cases}\) adică \( \displaystyle \begin{cases} - a + b = 0\\ - 2a + b = - 3 \\ \end{cases}\). Înmulţind prima ecuaţie cu \( -1 \) se obţine: \( \displaystyle \begin{cases} a - b = 0\\ - 2a + b = - 3 \\ \end{cases}\). Adunând cele două ecuaţii se obţine:\( \newline \) \( - a = - 3 \)\( \newline \) \( a = 3 \). Înlocuind \( a = 3 \) în prima ecuaţie se obţine:\( \newline \) \( - 1 \cdot 3 + b = 0 \newline \) \( - 3 + b = 0 \newline \) \( b = 0 + 3 \newline \) \( b = 3 \). Deci funcţia căutată este: \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = 3x + 3 \).