Matematică >> ecuaţia de gradul al doilea >> 1
teorie
Pentru a rezolva ecuaţia de gradul al doilea \( ax^2 +bx +c = 0 \),
se calculează discriminantul \( \Delta = b^2-4ac \).
În funcţie de valoarea obţinută sunt trei situaţii posibile:
i. Dacă \( \Delta < 0 \), ecuaţia nu are soluţii reale, \( S = \varnothing \).
ii. Dacă \( \Delta = 0 \), ecuaţia are o unică soluţie reală, \( \displaystyle x_1 = \frac{-b}{2a} \).
iii. Dacă \( \Delta > 0 \), ecuaţia are două soluţii reale, \( \displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \).
se calculează discriminantul \( \Delta = b^2-4ac \).
În funcţie de valoarea obţinută sunt trei situaţii posibile:
i. Dacă \( \Delta < 0 \), ecuaţia nu are soluţii reale, \( S = \varnothing \).
ii. Dacă \( \Delta = 0 \), ecuaţia are o unică soluţie reală, \( \displaystyle x_1 = \frac{-b}{2a} \).
iii. Dacă \( \Delta > 0 \), ecuaţia are două soluţii reale, \( \displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \).
exemple
Să se rezolve ecuaţia \( x^2 -2x -15 = 0 \).
Coeficienţii sunt \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -15 \),
\( \Delta = (-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 > 0 \),
iar \( \sqrt{\Delta} = 8 \).
Deci ecuaţia are soluţiile reale \( \displaystyle x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 8}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2} \).
\( \displaystyle x_{1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
\( \displaystyle x_{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
Mulţimea de soluţii este \( \displaystyle S = \{ -3, 5 \} \).
Coeficienţii sunt \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -15 \),
\( \Delta = (-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 > 0 \),
iar \( \sqrt{\Delta} = 8 \).
Deci ecuaţia are soluţiile reale \( \displaystyle x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 8}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2} \).
\( \displaystyle x_{1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
\( \displaystyle x_{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
Mulţimea de soluţii este \( \displaystyle S = \{ -3, 5 \} \).
exerciții
Ecuaţia de gradul al doilea \( - x^2 + 8x - 7 = 0 \)
are soluţiile \( x_1 = 7\) și \( x_2 = 1\).
Toţi coeficienţii sunt divizibili cu \( -1 \), iar ecuaţia devine, prin împărţire:
\( x^2 - 8x + 7 = 0 \).
Ecuaţia are coeficienţii:
\( a = 1 \), \( b = - 8 \), \( c = 7 \)
\( \Delta = (-8)^2-4\cdot 1 \cdot 7 \)
\( \Delta = 64 - 28 \)
\( \Delta = 36 > 0 \),
iar \( \sqrt{\Delta} = 6 \).
Deci ecuaţia are soluţiile reale \( \displaystyle x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm 6}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2} \).
\( \displaystyle x_{1} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\( \displaystyle x_{2} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7\)
Mulţimea de soluţii este \( \displaystyle S = \{ 1, 7 \} \).