Matematică >> ecuaţia de gradul al doilea >> 5
teorie
Să se calculeze \( x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 \), știind că \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( ax^2 +bx +c = 0 \).
Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Suma soluţiilor ecuaţiei \( ax^2 +bx +c = 0 \) este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei ax2 + bx + c = 0 este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).
Deci
\( \displaystyle x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = \frac{-b}{a} + \frac{c}{a} = \frac{-b+c}{a} \).
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( ax^2 +bx +c = 0 \).
Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Suma soluţiilor ecuaţiei \( ax^2 +bx +c = 0 \) este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei ax2 + bx + c = 0 este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).
Deci
\( \displaystyle x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = \frac{-b}{a} + \frac{c}{a} = \frac{-b+c}{a} \).
exemple
Să se calculeze \( x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 \), știind că \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( 3x^2 -6x -45 = 0 \).
Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = -45 \).
Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{3} = 2 \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{-45}{3} = -15 \).
Deci,
\( \displaystyle x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 2 + (-15) = -13 \).
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( 3x^2 -6x -45 = 0 \).
Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = -45 \).
Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{3} = 2 \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{-45}{3} = -15 \).
Deci,
\( \displaystyle x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 2 + (-15) = -13 \).
exerciții
Dacă \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt soluţiile ecuaţiei \( - 3x^2 + 51x - 216 = 0 \),
atunci \( x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 89 \).
Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = -3 \), \( b = 51 \), \( c = -216 \).
Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-51}{-3} = 17 \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{-216}{-3} = 72 \).
Deci,
\( \displaystyle x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 17 + 72 = 89 \).