Ecuaţia de gradul al doilea

Exerciții și probleme... ecuaţia de gradul al doilea.

Matematică >> ecuaţia de gradul al doilea >> 7


teorie
Să se calculeze \( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 \), știind că \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( ax^2 +bx +c = 0 \).

Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Suma soluţiilor ecuaţiei \( ax^2 +bx +c = 0 \) este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),

iar produsul soluţiilor ecuaţiei ax2 + bx + c = 0 este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P \).

exemple
Să se calculeze \( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 \), știind că \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( 3x^2 -6x -45 = 0 \).

Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = -45 \).

Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{3} = 2 \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{-45}{3} = -15 \).

Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle x_1 + x_2 = 2 \)
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = 2^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot (-15) + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 - 30 + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = 4 + 30 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 =34 \).

exerciții

Dacă \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt soluţiile ecuaţiei \( - x^2 - 5x + 50 = 0 \),

atunci \( x_1^2 + x_2^2 = \)   


 


exercițiu nou

Dacă \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt soluţiile ecuaţiei \( - x^2 - 5x + 50 = 0 \),
atunci \( x_1^2 + x_2^2 = 125 \).

Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = -1 \), \( b = -5 \), \( c = 50 \).

Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-5)}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 \),

iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{50}{-1} = -50 \).

Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle x_1 + x_2 = -5 \)
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = (-5)^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 25 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = 25 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot (-50) + x_2^2 = 25 \)
\( \displaystyle x_1^2 - 100 + x_2^2 = 25 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = 25 + 100 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 =125 \).