Matematică >> ecuaţia de gradul al doilea >> 7
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( ax^2 +bx +c = 0 \).
Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Suma soluţiilor ecuaţiei \( ax^2 +bx +c = 0 \) este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei ax2 + bx + c = 0 este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).
Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P \).
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( 3x^2 -6x -45 = 0 \).
Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = -45 \).
Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{3} = 2 \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{-45}{3} = -15 \).
Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle x_1 + x_2 = 2 \)
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = 2^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot (-15) + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 - 30 + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = 4 + 30 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 =34 \).
Dacă \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt soluţiile ecuaţiei \( 5x^2 - 80x + 300 = 0 \),
atunci \( x_1^2 + x_2^2 = 136 \).
Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = 5 \), \( b = -80 \), \( c = 300 \).
Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-80)}{5} = \frac{80}{5} = 16 \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{300}{5} = 60 \).
Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle x_1 + x_2 = 16 \)
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = 16^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 256 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = 256 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot 60 + x_2^2 = 256 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 120 + x_2^2 = 256 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = 256 - 120 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 =136 \).