Ecuaţia de gradul al doilea

Exerciții și probleme... ecuaţia de gradul al doilea.

Matematică >> ecuaţia de gradul al doilea >> 7


teorie
Să se calculeze \( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 \), știind că \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( ax^2 +bx +c = 0 \).

Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Suma soluţiilor ecuaţiei \( ax^2 +bx +c = 0 \) este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),

iar produsul soluţiilor ecuaţiei ax2 + bx + c = 0 este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = S^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P \).

exemple
Să se calculeze \( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 \), știind că \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( 3x^2 -6x -45 = 0 \).

Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = -45 \).

Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{3} = 2 \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{-45}{3} = -15 \).

Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle x_1 + x_2 = 2 \)
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = 2^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot (-15) + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 - 30 + x_2^2 = 4 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = 4 + 30 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 =34 \).

exerciții

Dacă \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt soluţiile ecuaţiei \( - 2x^2 + 14x - 24 = 0 \),

atunci \( x_1^2 + x_2^2 = \)   


 


exercițiu nou

Dacă \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt soluţiile ecuaţiei \( - 2x^2 + 14x - 24 = 0 \),
atunci \( x_1^2 + x_2^2 = 25 \).

Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = -2 \), \( b = 14 \), \( c = -24 \).

Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-14}{-2} = 7 \),

iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{-24}{-2} = 12 \).

Cum \( \displaystyle x_1 + x_2 = S \), se obține
\( \displaystyle x_1 + x_2 = 7 \)
\( \displaystyle (x_1 + x_2)^2 = 7^2 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 49 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2P + x_2^2 = 49 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 2 \cdot 12 + x_2^2 = 49 \)
\( \displaystyle x_1^2 + 24 + x_2^2 = 49 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 = 49 - 24 \)
\( \displaystyle x_1^2 + x_2^2 =25 \).