Ecuaţia de gradul al doilea

Exerciții și probleme... ecuaţia de gradul al doilea.

Matematică >> ecuaţia de gradul al doilea >> 6


teorie
Să se calculeze \( \displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \), știind că \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( ax^2 +bx +c = 0 \).

Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Suma soluţiilor ecuaţiei \( ax^2 +bx +c = 0 \) este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),

iar produsul soluţiilor ecuaţiei ax2 + bx + c = 0 este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

Deci
\( \displaystyle \begin{equation} \begin{aligned} \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} &{}= \frac{x_2}{x_1 \cdot x_2} + \frac{x_1}{x_1 \cdot x_2} = \\&{} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \\&{} = \frac{S}{P} \end{aligned} \end{equation}\).

exemple
Să se calculeze \( \displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \), știind că \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt
soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea \( 3x^2 -6x -45 = 0 \).

Rezolvare:
Se pot folosi relațiile lui Viète.
Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = -45 \).

Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{3} = 2 \),
iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{-45}{3} = -15 \).

Deci
\( \displaystyle \begin{equation} \begin{aligned} \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = &{}= \frac{x_2}{x_1 \cdot x_2} + \frac{x_1}{x_1 \cdot x_2} = \\&{} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \\&{} = \frac{2}{-15} = \\&{} = \frac{-2}{15} \end{aligned} \end{equation}\).

exerciții

Dacă \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt soluţiile ecuaţiei \( - x^2 - 3x + 10 = 0 \),
atunci

 \( \displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{10} \)
 \( \displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-10}{3} \)
 \( \displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-3}{10} \)
 \( \displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-3}{2} \)
 \( \displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{10}{3} \)


 


exercițiu nou

Dacă \( x_1 \) şi \( x_2 \) sunt soluţiile ecuaţiei \( - x^2 - 3x + 10 = 0 \),
atunci \( \displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{10} \).

Coeficienţii ecuaţiei sunt \( a = -1 \), \( b = -3 \), \( c = 10 \).

Suma soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \),
\( \displaystyle S = x_1 + x_2 = \frac{-(-3)}{-1} = \frac{3}{-1} = -3 \),

iar produsul soluţiilor ecuaţiei este
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \),
\( \displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{-1} = -10 \).

Deci
\( \displaystyle \begin{equation} \begin{aligned} \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} &{}= \frac{x_2}{x_1 \cdot x_2} + \frac{x_1}{x_1 \cdot x_2} = \\&{} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \\&{} = \frac{S}{P} \end{aligned} \end{equation}\)

\( \displaystyle \begin{equation} \begin{aligned} \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-3}{-10} = \frac{3}{10} \end{aligned} \end{equation}\).