Matematică >> Drepta în plan >> 7
Metoda I
Punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A) \), \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) și \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) sunt coliniare dacă unul dintre ele
aparține dreptei determinată de celelalte două puncte.
Ecuația dreptei \( d \) care trece prin punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A) \) și \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) este dată de formula:
\( AB \) : \( \displaystyle \frac {x - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {y - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \).
Pentru a stabili dacă punctul \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) aparține dreptei \( AB \), se verifică relația:
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \).
Metoda a II-a
Pentru a stabili dacă punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A) \), \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) și \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) sunt coliniare se verifică egalitatea:
\( \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \).
Metoda I
Pentru a stabili dacă punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}-5) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) sunt coliniare se verifică egalitatea:
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \), adică:
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}8 \color{grey} - \color{red}3}{\color{orange}-2 \color{grey} - \color{red}3} = \frac {\color{darkmagenta}-16 \color{grey} - \color{blue}(-5)}{\color{green}6 \color{grey} - \color{blue}(-5)} \)
\( \displaystyle \frac {5}{-5} = \frac {-11}{11} \)
\( \displaystyle 5 \cdot 11 = -5 \cdot (-11) \)
\( \displaystyle 55 = 55 \), adevărat,
deci punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}-5) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) sunt coliniare.
Metoda a II-a
Pentru a stabili dacă punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}-5) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) sunt coliniare se verifică egalitatea:
\( \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \), adică:
\( \begin{vmatrix} \color{red}3 & \color{blue}-5 & \color{grey}1\\ \color{orange}-2 & \color{green}6 & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}8 & \color{darkmagenta}-16 & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \).
Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:
\( \color{red}3 \color{grey}\cdot \color{green}6 \color{grey}\cdot 1 + \color{orange}(-2) \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}(-16) \color{grey}\cdot 1 + \color{fuchsia}8 \color{grey}\cdot \color{blue}(-5) \color{grey}\cdot 1 - 1 \color{grey}\cdot \color{green}6 \color{grey}\cdot \color{fuchsia}8 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}(-16) \color{grey}\cdot \color{red}3 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{blue}(-5) \color{grey}\cdot \color{orange}(-2) \color{grey} =0 \)
\( 18 + 32 - 40 - 48 + 48 - 10 =0 \)
\( 0 =0 \), adevărat,
deci punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}-5) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) sunt coliniare.
Punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-2) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-4) \) și \( C( \color{fuchsia}24 \color{grey}, \color{darkmagenta}0) \) sunt coliniare:
exercițiu nou
Metoda I
Punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A) \), \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) și \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) sunt coliniare dacă unul dintre ele
aparține dreptei determinată de celelalte două puncte.
Pentru a stabili dacă punctul \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) aparține dreptei \( AB \),
se verifică relația:
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \).
Pentru punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-2) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-4) \) și \( C( \color{fuchsia}24 \color{grey}, \color{darkmagenta}0) \), se obține:
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}24 \color{grey} - \color{red}10}{\color{orange}-4 \color{grey} - \color{red}10} = \frac {\color{darkmagenta}0 \color{grey} - \color{blue}(-2)}{\color{green}-4 \color{grey} - \color{blue}(-2)} \)
\( \displaystyle \frac {24 - 10}{-4 - 10} = \frac {0 + 2}{-4 + 2} \)
\( \displaystyle \frac {14}{-14} = \frac {2}{-2} \)
\( \displaystyle 14 \cdot (-2) = -14 \cdot 2 \)
\( \displaystyle -28 = -28 \), adevărat,
deci punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-2) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-4) \) și \( C( \color{fuchsia}24 \color{grey}, \color{darkmagenta}0) \) sunt coliniare.
Metoda a II-a
Punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A) \), \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) și \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
\(
\begin{vmatrix}
\color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\
\color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\
\color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1
\end{vmatrix} = 0
\).
Pentru punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-2) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-4) \) și \( C( \color{fuchsia}24 \color{grey}, \color{darkmagenta}0) \), se obține:
\(
\begin{vmatrix}
\color{red}10 & \color{blue}-2 & \color{grey}1\\
\color{orange}-4 & \color{green}-4 & \color{grey}1\\
\color{fuchsia}24 & \color{darkmagenta}0 & \color{grey}1
\end{vmatrix} = 0
\).
Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:
\( \color{red}10 \color{grey}\cdot \color{green}(-4) \color{grey}\cdot 1 +
\color{orange}(-4) \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}0 \color{grey}\cdot 1 +
\color{fuchsia}24 \color{grey}\cdot \color{blue}(-2) \color{grey}\cdot 1 -
1 \color{grey}\cdot \color{green}(-4) \color{grey}\cdot \color{fuchsia}24 \color{grey} -
1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}0 \color{grey}\cdot \color{red}10 \color{grey} -
1 \color{grey}\cdot \color{blue}(-2) \color{grey}\cdot \color{orange}(-4) \color{grey} =0
\)
\( -40 + 0 - 48 + 96 - 0 - 8 =0 \)
\( 0 =0 \), adevărat,
deci punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-2) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-4) \) și \( C( \color{fuchsia}24 \color{grey}, \color{darkmagenta}0) \) sunt coliniare.