Să se determine \( m \in \mathbb{R} \) astfel încât punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}m) \), \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) și \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) să fie coliniare.

Metoda I
Punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A) \), \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) și \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) sunt coliniare dacă unul dintre ele
aparține dreptei determinată de celelalte două puncte.
Ecuația dreptei \( d \) care trece prin punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A) \) și \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) este dată de formula:
   \( AB \) : \( \displaystyle \frac {x - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {y - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \).

Pentru ca punctul \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) să aparțină dreptei \( AB \), trebuie să fie verificată relația:
   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \).

Substituind \( \color{blue}y_A \) cu \( \color{blue}m \) se obține ecuația:
   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}m}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}m} \).

Rezolvând această ecuație, se determină \( \color{blue}m \).

Metoda a II-a
Punctele \( A( \color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A) \), \( B( \color{orange}x_B \color{grey}, \color{green}y_B) \) și \( C( \color{fuchsia}x_C \color{grey}, \color{darkmagenta}y_C) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
\( \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \).

Substituind \( \color{blue}y_A \) cu \( \color{blue}m \) se obține ecuația:
\( \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}m & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \).

Rezolvând această ecuație, se determină \( \color{blue}m \).

---

Să se determine \( m \in \mathbb{R} \) astfel încât punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}m) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) să fie coliniare.


Metoda I
Punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}m) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \), adică:

   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}8 \color{grey} - \color{red}3}{\color{orange}-2 \color{grey} - \color{red}3} = \frac {\color{darkmagenta}-16 \color{grey} - \color{blue}m}{\color{green}6 \color{grey} - \color{blue}m} \).

Rezolvând această ecuație, se determină \( \color{blue}m \):

   \( \displaystyle \frac {8 - 3}{-2 - 3} = \frac {-16 - \color{blue}m}{6 - \color{blue}m} \)

   \( \displaystyle \frac {5}{-5} = \frac {-16 - \color{blue}m}{6 - \color{blue}m} \)

   \( \displaystyle 5 \cdot \left( 6 - \color{blue}m \color{grey} \right ) = -5 \cdot \left(-16 - \color{blue}m \color{grey} \right) \)
   \( 30 - 5 \color{blue}m \color{grey} = 80 + 5 \color{blue}m \)
   \( - 5 \color{blue}m \color{grey} - 5 \color{blue}m \color{grey} = 80 - 30 \)
   \( - 10 \color{blue}m \color{grey} = 50 \)
   \( \color{blue}m \color{grey} = -5 \),

deci punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}m) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) sunt coliniare pentru \( \color{blue}m \color{grey} = -5 \).

Metoda a II-a
Punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}m) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:

\( \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \), adică:

\( \begin{vmatrix} \color{red}3 & \color{blue}m & \color{grey}1\\ \color{orange}-2 & \color{green}6 & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}8 & \color{darkmagenta}-16 & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \).

Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:
\( \color{red}3 \color{grey}\cdot \color{green}6 \color{grey}\cdot 1 + \color{orange}(-2) \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}(-16) \color{grey}\cdot 1 + \color{fuchsia}8 \color{grey}\cdot \color{blue}m \color{grey}\cdot 1 - 1 \color{grey}\cdot \color{green}6 \color{grey}\cdot \color{fuchsia}8 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}(-16) \color{grey}\cdot \color{red}3 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{blue}m \color{grey}\cdot \color{orange}(-2) \color{grey} =0 \)

Rezolvând această ecuație, se determină \( \color{blue}m \):

\( 18 + 32 + 8\color{blue}m \color{grey} - 48 + 48 + 2\color{blue}m \color{grey} = 0 \)
\( 8\color{blue}m \color{grey} + 2\color{blue}m \color{grey} = - 18 - 32 + 48 - 48 \)
\( 10\color{blue}m \color{grey} = - 50 \)
\( \color{blue}m \color{grey} = - 5 \),

deci punctele \( A( \color{red}3 \color{grey}, \color{blue}m) \), \( B( \color{orange}-2 \color{grey}, \color{green}6) \) și \( C( \color{fuchsia}8 \color{grey}, \color{darkmagenta}-16) \) sunt coliniare pentru \( \color{blue}m \color{grey} = -5 \).

---