Ecuaţia dreptei

Exerciții și probleme... ecuaţia dreptei.

Matematică >> Drepta în plan >> 9 a.


teorie
În reperul cartezian \( xOy \) se consideră dreapta \( d \) de ecuație : \( y = \color{red}m \color{grey}x + n \) și punctul \( A(\color{blue}x_A \color{grey}, \color{orange}y_A \color{grey}) \).
Se va determina ecuația dreptei \( d^{'} \), paralela dusă prin punctul \( A \) la dreapta \( d \), \( d^{'} \) : \( y = \color{red}m^{'} \color{grey}x + n^{'} \).

   \( d \parallel d^{'} \implies \color{red}m \color{grey} = \color{red}m^{'} \),
adică, fiind paralele, cele două drepte au pantele egale.

   \( d^{'} \) trece prin punctul \( A(\color{blue}x_A \color{grey}, \color{orange}y_A \color{grey}) \) și are panta \( \color{red}m^{'} \), deci ecuația dreptei \( d^{'} \) este:
\( d^{'} \) : \( y - \color{orange}y_A \color{grey} = \color{red}m^{'} \color{grey}( x - \color{blue}x_A \color{grey}) \).

exemple
În reperul cartezian \( xOy \) se consideră dreapta \( d \) de ecuație : \( y = \color{red}4 \color{grey}x + 1 \) și punctul \( A(\color{blue}2 \color{grey}, \color{orange}0 \color{grey}) \).
Determinați ecuația paralelei duse prin punctul \( A \) la dreapta \( d \).

Se notează \( d^{'} \) paralela dusă prin punctul \( A(\color{blue}2 \color{grey}, \color{orange}0 \color{grey}) \) la dreapta \( d \).
   \( d \parallel d^{'} \implies \color{red}m \color{grey} = \color{red}m^{'} \color{grey} = \color{red}4 \).
Ecuația dreptei \( d^{'} \) care trece prin punctul \( A(\color{blue}x_A \color{grey}, \color{orange}y_A \color{grey}) \) și are panta \( \color{red}m^{'} \) este:
\( d^{'} \) : \( y - \color{orange}y_A \color{grey} = \color{red}m^{'} \color{grey}( x - \color{blue}x_A \color{grey}) \),

deci:
\( d^{'} \) : \( y - \color{orange}0 \color{grey} = \color{red}4 \color{grey}( x - \color{blue}2 \color{grey}) \)
\( d^{'} \) : \( y = 4x-8 \) (forma explicită a ecuației dreptei \( d^{'} \))
\( d^{'} \) : \( 4x - y - 8 = 0 \) (forma generală a ecuației dreptei \( d^{'} \)).

exerciții

În reperul cartezian \( xOy \) se consideră dreapta \( d \) de ecuație \( y = \color{red} 5 \color{grey}x - 2 \) și punctul \( A(\color{blue}3 \color{grey}, \color{orange}4 \color{grey}) \).
Ecuația paralelei duse prin punctul \( A \) la dreapta \( d \) este:

   \( y = 5x - 11 \)
   \( y = 5x + 15 \)
   \( y = - 2x - 15 \)
   \( y = 9x + 8 \)
   \( y = - 2x + 11 \)

 


exercițiu nou

În reperul cartezian \( xOy \) se consideră dreapta \( d \) de ecuație \( y = \color{red} 5 \color{grey}x - 2 \) și punctul \( A(\color{blue}3 \color{grey}, \color{orange}4 \color{grey}) \).
Determinați ecuația paralelei duse prin punctul \( A \) la dreapta \( d \).

Se notează \( d^{'} \) paralela dusă prin punctul \( A(\color{blue}3 \color{grey}, \color{orange}4 \color{grey}) \) la dreapta \( d \).
   \( d \parallel d^{'} \implies \color{red}m \color{grey} = \color{red}m^{'} \color{grey} = \color{red}5 \).
Ecuația dreptei \( d^{'} \) care trece prin punctul \( A(\color{blue}x_A \color{grey}, \color{orange}y_A \color{grey}) \) și are panta \( m^{'} \) este:
\( d^{'} \) : \( y - \color{orange}y_A \color{grey} = \color{red}m^{'} \color{grey}( x - \color{blue}x_A \color{grey}) \),

deci:
\( d^{'} \) : \( y \color{orange} - 4 \color{grey} = \color{red}5 \color{grey}( x \color{blue} - 3 \color{grey}) \)
\( d^{'} \) : \( y \color{orange} - 4 \color{grey} = \color{red} 5 \color{grey}x \color{blue} - 15 \color{grey} \)
\( d^{'} \) : \( y = 5x - 15 + 4\)
\( d^{'} \) : \( y = 5x - 11\) (forma explicită a ecuației dreptei \( d^{'} \))
\( d^{'} \) : \( 5x - y - 11 = 0\) (forma generală a ecuației dreptei \( d^{'} \)).