pro-matematica.ro

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $ A( 2, 5) $, $ B( 1, 3) $ și $ C( m, 1) $, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $C$ aparține dreptei $AB$.

soluția

Metoda I
Punctele $ A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) $, $ B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) $ și $ C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) $ sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
   $ \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} $, adică:

   $ \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - \color{red}2}{\color{orange}1 \color{grey} - \color{red}2} = \frac {\color{darkmagenta}1 \color{grey} - \color{blue}5}{\color{green}3 \color{grey} - \color{blue}5} $.

Rezolvând această ecuație, se determină $ \color{fuchsia}m $:

   $ \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - 2}{1 - 2} = \frac {1 - 5}{3 - 5} $.

   $ \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - 2}{-1} = \frac {-4}{-2} $.

   $ \displaystyle -2 \cdot \left( \color{fuchsia}m \color{grey} - 2 \right ) = -4 \cdot \left(-1 \right) $
   $ - 2 \color{fuchsia}m \color{grey} + 4 = 4 $
   $ - 2 \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 $
   $ \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 $,

deci punctele $ A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) $, $ B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) $ și $ C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) $ sunt coliniare pentru $ \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 $.

Metoda a II-a
Punctele $ A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) $, $ B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) $ și $ C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) $ sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:

$ \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 $, adică:

$ \begin{vmatrix} \color{red}2 & \color{blue}5 & \color{grey}1\\ \color{orange}1 & \color{green}3 & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}m & \color{darkmagenta}1 & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 $.

Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:
$ \color{red}2 \color{grey}\cdot \color{green}3 \color{grey}\cdot 1 + \color{orange}1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}1 \color{grey}\cdot 1 + \color{fuchsia}m \color{grey}\cdot \color{blue}5 \color{grey}\cdot 1 - 1 \color{grey}\cdot \color{green}3 \color{grey}\cdot \color{fuchsia}m \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}1 \color{grey}\cdot \color{red}2 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{blue}5 \color{grey}\cdot \color{orange}1 \color{grey} =0 $

Rezolvând această ecuație, se determină $ \color{blue}m $:

$ 6 + 1 + 5\color{fuchsia}m \color{grey} - 3\color{fuchsia}m \color{grey} - 2 - 5 = 0 $
$ 5\color{fuchsia}m \color{grey} - 3\color{fuchsia}m \color{grey} = - 6 - 1 + 2 + 5 $
$ 2\color{fuchsia}m \color{grey} = 0 $
$ \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 $,

deci punctele $ A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) $, $ B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) $ și $ C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) $ sunt coliniare pentru $ \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 $.

exerciții

__exercițiu nou

exercițiu nou

Punctele $ A( \color{red}8 \color{grey}, \color{blue}-8) $, $ B( \color{orange}m \color{grey}, \color{green}7) $ și $ C( \color{fuchsia}15 \color{grey}, \color{darkmagenta}-23) $ sunt coliniare pentru $ m = \dots $

Metoda I
Punctele $ A( \color{red}8 \color{grey}, \color{blue}-8) $, $ B( \color{orange}m \color{grey}, \color{green}7) $ și $ C( \color{fuchsia}15 \color{grey}, \color{darkmagenta}-23) $ sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:

   $ \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} $, adică

   $ \displaystyle \frac {\color{fuchsia}15 \color{grey} - \color{red}8}{\color{orange}m \color{grey} - \color{red}8} = \frac {\color{darkmagenta}-23 \color{grey} - \color{blue}(-8)}{\color{green}7 \color{grey} - \color{blue}(-8)} $

   $ \displaystyle \frac {15 - 8}{m - 8} = \frac {-23 + 8}{7 + 8} $

   $ \displaystyle \frac {7}{m - 8} = \frac {-15}{15} $

   $ \displaystyle \frac {7}{m - 8} = \frac {-1}{1} $

   $ \displaystyle -1 \cdot (m - 8) = 7 \cdot 1 $

   $ \displaystyle - m + 8 = 7 $

   $ \displaystyle - m = 7 - 8 $

   $ \displaystyle - m = -1 $

   $ \displaystyle m = 1 $,

deci punctele $ A( \color{red}8 \color{grey}, \color{blue}-8) $, $ B( \color{orange}m \color{grey}, \color{green}7) $ și $ C( \color{fuchsia}15 \color{grey}, \color{darkmagenta}-23) $ sunt coliniare pentru $ \color{orange}m \color{grey} = 1 $.

Metoda a II-a
Punctele $ A( \color{red}8 \color{grey}, \color{blue}-8) $, $ B( \color{orange}m \color{grey}, \color{green}7) $ și $ C( \color{fuchsia}15 \color{grey}, \color{darkmagenta}-23) $ sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:

$ \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 $, adică

$ \begin{vmatrix} \color{red}8 & \color{blue}-8 & \color{grey}1\\ \color{orange}m & \color{green}7 & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}15 & \color{darkmagenta}-23 & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 $.

Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:

$ \color{red}8 \color{grey}\cdot \color{green}7 \color{grey}\cdot 1 + \color{orange}m \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}(-23) \color{grey}\cdot 1 + \color{fuchsia}15 \color{grey}\cdot \color{blue}(-8) \color{grey}\cdot 1 - 1 \color{grey}\cdot \color{green}7 \color{grey}\cdot \color{fuchsia}15 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}(-23) \color{grey}\cdot \color{red}8 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{blue}(-8) \color{grey}\cdot \color{orange}m \color{grey} =0 $

$ 56 - 23m - 120 - 105 + 184 + 8m =0 $

$ - 23m + 8m = -56 + 120 + 105 - 184 $

$ - 15m = -15 $,

$ m = 1 $,

deci punctele $ A( \color{red}8 \color{grey}, \color{blue}-8) $, $ B( \color{orange}m \color{grey}, \color{green}7) $ și $ C( \color{fuchsia}15 \color{grey}, \color{darkmagenta}-23) $ sunt coliniare pentru $ \color{orange}m \color{grey} = 1 $.

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exmplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \begin{document} Punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare pentru $ m = \dots $$ \newline $ Soluție: $ \newline $Metoda I$ \newline $ Punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare dacă este verificată egalitatea: $ \displaystyle \frac {x_C - x_A}{x_B - x_A} = \frac {y_C - y_A}{y_B - y_A} $, adică $ \displaystyle \frac {15 - 8}{m - 8} = \frac {-23 - (-8)}{7 - (-8)} \newline $ $ \displaystyle \frac {15 - 8}{m - 8} = \frac {-23 + 8}{7 + 8} $ $ \displaystyle \frac {7}{m - 8} = \frac {-15}{15} $ $ \newline $ $ \displaystyle \frac {7}{m - 8} = \frac {-1}{1} $ $ \newline $ $ \displaystyle -1 \cdot (m - 8) = 7 \cdot 1 \newline $ $ \displaystyle - m + 8 = 7 \newline $ $ \displaystyle - m = 7 - 8 \newline $ $ \displaystyle - m = -1 \newline $ $ \displaystyle m = 1 ,\newline $ deci punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare pentru $ m = 1 .\newline $ $ \newline $Metoda a II-a$ \newline $ Punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare dacă este verificată egalitatea: $ \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1\\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} = 0 $, adică $ \begin{vmatrix} 8 & -8 & 1\\ m & 7 & 1\\ 15 & -23 & 1 \end{vmatrix} = 0 $. $\newline $ Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus: $ 8 \cdot 7 \cdot 1 + m \cdot (-23) \cdot 1 + 15 \cdot (-8) \cdot 1 - 1 \cdot 7 \cdot 15 - 1 \cdot (-23) \cdot 8 - 1 \cdot (-8) \cdot m =0 \newline $ $ 56 - 23m - 120 - 105 + 184 + 8m =0 \newline $ $ - 23m + 8m = -56 + 120 + 105 - 184 \newline $ $ - 15m = -15 $, $\newline $ $ m = 1 $, $\newline $ deci punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare pentru $ m = 1 $. $\newline $ \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare pentru $ m = \dots $$ \newline $ Soluție: $ \newline $Metoda I$ \newline $ Punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare dacă este verificată egalitatea: $ \displaystyle \frac {x_C - x_A}{x_B - x_A} = \frac {y_C - y_A}{y_B - y_A} $, adică $ \displaystyle \frac {15 - 8}{m - 8} = \frac {-23 - (-8)}{7 - (-8)} \newline $ $ \displaystyle \frac {15 - 8}{m - 8} = \frac {-23 + 8}{7 + 8} $ $ \displaystyle \frac {7}{m - 8} = \frac {-15}{15} $ $ \newline $ $ \displaystyle \frac {7}{m - 8} = \frac {-1}{1} $ $ \newline $ $ \displaystyle -1 \cdot (m - 8) = 7 \cdot 1 \newline $ $ \displaystyle - m + 8 = 7 \newline $ $ \displaystyle - m = 7 - 8 \newline $ $ \displaystyle - m = -1 \newline $ $ \displaystyle m = 1 ,\newline $ deci punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare pentru $ m = 1 .\newline $ $ \newline $Metoda a II-a$ \newline $ Punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare dacă este verificată egalitatea: $ \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1\\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} = 0 $, adică $ \begin{vmatrix} 8 & -8 & 1\\ m & 7 & 1\\ 15 & -23 & 1 \end{vmatrix} = 0 $. $\newline $ Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus: $ 8 \cdot 7 \cdot 1 + m \cdot (-23) \cdot 1 + 15 \cdot (-8) \cdot 1 - 1 \cdot 7 \cdot 15 - 1 \cdot (-23) \cdot 8 - 1 \cdot (-8) \cdot m =0 \newline $ $ 56 - 23m - 120 - 105 + 184 + 8m =0 \newline $ $ - 23m + 8m = -56 + 120 + 105 - 184 \newline $ $ - 15m = -15 $, $\newline $ $ m = 1 $, $\newline $ deci punctele $ A( 8 , -8) $, $ B( m , 7) $ și $ C( 15 , -23) $ sunt coliniare pentru $ m = 1 $. $\newline $

Sesiunea specială - 7 iunie 2017