Punctele \( A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) \), \( B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \), adică:
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - \color{red}2}{\color{orange}1 \color{grey} - \color{red}2} = \frac {\color{darkmagenta}1 \color{grey} - \color{blue}5}{\color{green}3 \color{grey} - \color{blue}5} \).
Rezolvând această ecuație, se determină \( \color{fuchsia}m \):
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - 2}{1 - 2} = \frac {1 - 5}{3 - 5} \).
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - 2}{-1} = \frac {-4}{-2} \).
\( \displaystyle -2 \cdot \left( \color{fuchsia}m \color{grey} - 2 \right ) = -4 \cdot \left(-1 \right) \)
\( - 2 \color{fuchsia}m \color{grey} + 4 = 4 \)
\( - 2 \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \)
\( \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \),
deci punctele \( A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) \), \( B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) \) sunt coliniare pentru \( \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \).
Metoda a II-a
Punctele \( A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) \), \( B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
\( \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \), adică:
\( \begin{vmatrix} \color{red}2 & \color{blue}5 & \color{grey}1\\ \color{orange}1 & \color{green}3 & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}m & \color{darkmagenta}1 & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \).
Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:
\( \color{red}2 \color{grey}\cdot \color{green}3 \color{grey}\cdot 1 + \color{orange}1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}1 \color{grey}\cdot 1 + \color{fuchsia}m \color{grey}\cdot \color{blue}5 \color{grey}\cdot 1 - 1 \color{grey}\cdot \color{green}3 \color{grey}\cdot \color{fuchsia}m \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}1 \color{grey}\cdot \color{red}2 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{blue}5 \color{grey}\cdot \color{orange}1 \color{grey} =0 \)
Rezolvând această ecuație, se determină \( \color{blue}m \):
\( 6 + 1 + 5\color{fuchsia}m \color{grey} - 3\color{fuchsia}m \color{grey} - 2 - 5 = 0 \)
\( 5\color{fuchsia}m \color{grey} - 3\color{fuchsia}m \color{grey} = - 6 - 1 + 2 + 5 \)
\( 2\color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \)
\( \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \),
deci punctele \( A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) \), \( B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) \) sunt coliniare pentru \( \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \).
Punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-1) \), \( B( \color{orange}3 \color{grey}, \color{green}-8) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}6) \) sunt coliniare pentru
exercițiu nou
Punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-1) \), \( B( \color{orange}3 \color{grey}, \color{green}-8) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}6) \) sunt coliniare pentru \( m = \dots \)
Metoda I
Punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-1) \), \( B( \color{orange}3 \color{grey}, \color{green}-8) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}6) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \), adică
\( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - \color{red}10}{\color{orange}3 \color{grey} - \color{red}10} = \frac {\color{darkmagenta}6 \color{grey} - \color{blue}(-1)}{\color{green}-8 \color{grey} - \color{blue}(-1)} \)
\( \displaystyle \frac {m - 10}{3 - 10} = \frac {6 + 1}{-8 + 1} \)
\( \displaystyle \frac {m - 10}{-7} = \frac {7}{-7} \)
\( \displaystyle \frac {m - 10}{-7} = \frac {1}{-1} \)
\( \displaystyle -1 \cdot (m - 10) = -7 \cdot 1 \)
\( \displaystyle - m + 10 = -7 \)
\( \displaystyle - m = -7 - 10 \)
\( \displaystyle - m = -17 \)
\( \displaystyle m = 17 \),
deci punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-1) \), \( B( \color{orange}3 \color{grey}, \color{green}-8) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}6) \) sunt coliniare pentru \( \color{fuchsia}m \color{grey} = 17 \).
Metoda a II-a
Punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-1) \), \( B( \color{orange}3 \color{grey}, \color{green}-8) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}6) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
\(
\begin{vmatrix}
\color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\
\color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\
\color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1
\end{vmatrix} = 0
\), adică
\(
\begin{vmatrix}
\color{red}10 & \color{blue}-1 & \color{grey}1\\
\color{orange}3 & \color{green}-8 & \color{grey}1\\
\color{fuchsia}m & \color{darkmagenta}6 & \color{grey}1
\end{vmatrix} = 0
\).
Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:
\( \color{red}10 \color{grey}\cdot \color{green}(-8) \color{grey}\cdot 1 +
\color{orange}3 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}6 \color{grey}\cdot 1 +
\color{fuchsia}m \color{grey}\cdot \color{blue}(-1) \color{grey}\cdot 1 -
1 \color{grey}\cdot \color{green}(-8) \color{grey}\cdot \color{fuchsia}m \color{grey} -
1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}6 \color{grey}\cdot \color{red}10 \color{grey} -
1 \color{grey}\cdot \color{blue}(-1) \color{grey}\cdot \color{orange}3 \color{grey} =0
\)
\( -80 + 18 - m + 8m - 60 + 3 =0 \)
\( - m + 8m = 80 - 18 + 60 - 3 \)
\( 7m = 119 \),
\( m = 17 \),
deci punctele \( A( \color{red}10 \color{grey}, \color{blue}-1) \), \( B( \color{orange}3 \color{grey}, \color{green}-8) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}6) \) sunt coliniare pentru \( \color{fuchsia}m \color{grey} = 17 \).
***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exmplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***
Întregul fișier .tex
Doar problema în format .tex