Procente

Exerciții și probleme... procente.

Matematică >> Procente >> 7


\( \definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \definecolor{blue}{RGB}{0,0,255} \definecolor{black}{RGB}{0,0,0} \definecolor{grey}{RGB}{115,115,115} \definecolor{pink}{RGB}{249,76,177} \definecolor{violet}{RGB}{173,18,212} \)
teorie
O metodă pentru a determina preţul iniţial, \( \color{blue}pi \) , al unui obiect după
o ieftinire cu \( \color{violet}p\% \), cunoscând preţul final, \( \color{red}pf \), este de a rezolva ecuaţia
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}- \color{violet}p\%\) din \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{red}pf \), adică:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}- \frac{\color{violet}p}{100} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{red}pf \)
  \(\displaystyle \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}- \color{violet}p \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}pf \)
  \(\displaystyle \color{violet}(100 - p) \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}pf \)
deci preţul iniţial este:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \frac{\color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}pf}{\color{violet}100 - p} \).

O variantă mai puțin formalizată a acestei metode ar fi:
se notează preţul iniţial cu \( \color{blue}x \) și se rezolvă ecuția
  \(\displaystyle \color{blue}x \color{grey}- \frac{\color{violet}p}{100} \cdot \color{blue}x \color{grey}= \color{red}pf \).

O altă metodă pentru a determina preţul iniţial, \( \color{blue}pi \), al unui obiect după
o ieftinire cu \( \color{violet}p\% \), cunoscând preţul final, \( \color{red}pf \), este de a calcula
\( \color{violet}100 - p \), astfel se determină ce procent din preţul iniţial este preţul final.
Ştiind că preţul final, \( \color{red}pf \), reprezintă \( \color{violet}(100 - p)\% \) din preţul iniţial, \( \color{blue}pi \), adică:
  \(\displaystyle \color{red}pf \color{grey}= \frac{\color{violet}100-p}{\color{violet}100} \cdot \color{blue}pi \), se obţine:
  \(\displaystyle \color{violet}(100 - p) \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}pf \), deci
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \frac{\color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}pf}{\color{violet}100 - p} \).


exemple
După o ieftinire cu \( 20\% \) un obiect costă \( 304 \).
Să se determine preţul iniţial.

Folosind prima metodă, trebuie rezolvată ecuaţia:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}- \color{violet}p\%\) din \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{red}pf \), adică:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}- \color{violet}20\%\) din \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{red}304 \), deci
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}- \frac{\color{violet}20}{100} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{red}304 \)
  \(\displaystyle \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}- \color{violet}20 \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}304 \)
  \(\displaystyle \color{violet}80 \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= 30400 \)
deci preţul iniţial este:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{blue}380 \).

Folosind varianta simplificată a primei metode,
se notează preţul iniţial cu \( \color{blue}x \) și se rezolvă ecuția
  \(\displaystyle \color{blue}x \color{grey}- \frac{\color{violet}20}{100} \cdot \color{blue}x \color{grey}= \color{red}304 \)
  \(\displaystyle \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{blue}x \color{grey}- \color{violet}20 \cdot \color{blue}x \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}304 \)
  \(\displaystyle \color{violet}80 \color{grey} \cdot \color{blue}x \color{grey}= 30400 \)
  \(\displaystyle \color{blue}x \color{grey}= \color{blue}380 \).

Folosind a doua metodă, se calculează mai întâi
  \(\displaystyle \color{violet}100-p \), adică:
  \(\displaystyle \color{violet}100-20 \color{grey}= 80 \),
deci preţul final, \( \color{red}304 \), este \( \color{violet}80\% \) din preţul iniţial, \( \color{blue}pi \), adică
  \(\displaystyle \color{red}304 \color{grey}= \color{violet}80\% \) din \( \color{blue}pi \), deci
  \(\displaystyle \color{red}304 \color{grey}= \frac{\color{violet}80}{\color{violet}100} \cdot \color{blue}pi \), și se obţine:
  \(\displaystyle \color{violet}80 \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}304 \),
deci preţul iniţial este:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{blue}380 \).


exerciții

După o ieftinire cu \(16\% \) un obiect costă \(6888 \) lei.
Preţul iniţial al obiectului este:




 


exercițiu nou

Folosind prima metodă, trebuie rezolvată ecuaţia:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}- \color{violet}p\%\) din \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{red}pf \), adică:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}- \color{violet}16\%\) din \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{red}6888 \), deci
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}- \frac{\color{violet}16}{100} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{red}6888 \)
  \(\displaystyle \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}- \color{violet}16 \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}6888 \)
  \(\displaystyle \color{violet}84 \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= 688800 \)
deci preţul iniţial este:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{blue}8200 \).

Folosind varianta simplificată a primei metode,
se notează preţul iniţial cu \( \color{blue}x \) și se rezolvă ecuția
  \(\displaystyle \color{blue}x \color{grey}- \frac{\color{violet}16}{100} \cdot \color{blue}x \color{grey}= \color{red}6888 \)
  \(\displaystyle \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{blue}x \color{grey}- \color{violet}16 \cdot \color{blue}x \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}6888 \)
  \(\displaystyle \color{violet}84 \color{grey} \cdot \color{blue}x \color{grey}= 688800 \)
  \(\displaystyle \color{blue}x \color{grey}= \color{blue}8200 \).

Folosind a doua metodă, se calculează mai întâi
  \(\displaystyle \color{violet}100-p \), adică:
  \(\displaystyle \color{violet}100-16 \color{grey}= 84 \),
deci preţul final, \( \color{red}6888 \), este \( \color{violet}84\% \) din preţul iniţial, \( \color{blue}pi \), adică
  \(\displaystyle \color{red}6888 \color{grey}= \color{violet}84\% \) din \( \color{blue}pi \), deci
  \(\displaystyle \color{red}6888 \color{grey}= \frac{\color{violet}84}{\color{violet}100} \cdot \color{blue}pi \), și se obţine:
  \(\displaystyle \color{violet}108 \color{grey} \cdot \color{blue}pi \color{grey}= \color{violet}100 \color{grey} \cdot \color{red}6888 \),
deci preţul iniţial este:
  \(\displaystyle \color{blue}pi \color{grey}= \color{blue}8200 \).