Ecuații logaritmice

Exerciții și probleme... ecuații logaritmice.

Matematică >> Ecuații logaritmice >> 1 B


teorie
Pentru a rezolva ecuația
   \( \log_{ \color{blue}a } {\color{red}f(x) } = \color{darkmagenta} b \),

mai întâi se scrie condiția de existență:
   \( \color{red} f(x) \color{dimgray} > 0 \)
și se determină domeniul de definiție \( D \).

Se scrie ecuația sub forma:
   \( \log_{ \color{blue}a } {\color{red}f(x) } = \log_{ \color{blue}a } { \color{blue}a^{\color{darkmagenta} b} } \),

se rezolvă ecuația echivalentă:
   \( \color{red}f(x) \color{dimgray} = \color{blue}a^{\color{darkmagenta} b} \),

se verifică dacă soluția obținută aparține domeniului de definiție \( D \)
și se scrie mulțimea de soluții \( S \).

exemple
Să se rezolve ecuația
   \( \log_{ \color{blue}5 } {\color{red}(3x+4) } = \color{darkmagenta} 2 \).

Soluție:
În primul rând se scrie condiția de existență:
   \( \color{red} 3x+4 \color{dimgray} > 0 \)
   \( 3x > -4 \)
   \( \displaystyle x > \frac{-4}{3} \)
și se determină domeniul de definiție \( \displaystyle D = ( \frac{-4}{3} ; \infty ) \).

Se scrie ecuația sub forma:
   \( \log_{ \color{blue}5 } {\color{red}(3x+4) } = \log_{ \color{blue}5 } { \color{blue}5^{\color{darkmagenta} 2} } \),

se rezolvă ecuația echivalentă:

   \( \color{red}3x+4 \color{dimgray} = \color{blue}5^{\color{darkmagenta} 2} \)
   \( 3x+4 = 25 \)
   \( 3x = 25-4 \)
   \( 3x = 21 \)
   \( x = 7 \in D \),
   deci \( S = \{ 7 \} \).

exerciții

Soluția ecuației \( \log_{ \color{blue}2 } {\color{red}( - x + 31) } = \color{darkmagenta} 5 \)
este:

  \( \color{red}x \color{dimgray} = \)   


 


exercițiu nou

Soluția ecuației \( \log_{ \color{blue}2 } {\color{red}( - x + 31) } = \color{darkmagenta} 5 \)
este:
\( \color{red}x \color{dimgray} = -1 \).

Pentru a rezolva ecuația
    \( \log_{ \color{blue}2 } {\color{red}( - x + 31) } = \color{darkmagenta} 5 \),

mai întâi se scrie condiția de existență:
   \( \color{red} - x + 31 \color{dimgray} > 0 \)
   \( - x > -31 \)
    \( \displaystyle x < \frac{-31}{-1} \)
    \( \displaystyle x < 31 \)
    și se determină domeniul de definiție \( \displaystyle D = ( - \infty ; 31) \).


Se scrie ecuația sub forma:
   \( \log_{ \color{blue}2 } {\color{red}( - x + 31) } = \log_{ \color{blue}2 } { \color{blue}2^{\color{darkmagenta} 5} } \),

se rezolvă ecuația echivalentă:
   \( \color{red} - x + 31 \color{dimgray} = \color{blue}2^{\color{darkmagenta} 5} \)
   \( - x + 31 = 32 \)
   \( - x = 32 - 31 \)
   \( - x = 1 \)
   \( x = -1 \in D \),

   deci \( S = \{ -1 \} \).