Matematică >> Ecuații exponentiale >> 1 a.
teorie
Pentru a rezolva ecuația
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}x} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} x} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se scrie mulțimea de soluții \( S = \{ \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \color{dimgray} \} \).
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci \( x = \color{orange} c \),
iar \( S = \{ \color{orange} c \color{dimgray} \} \).
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}x} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} x} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se scrie mulțimea de soluții \( S = \{ \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \color{dimgray} \} \).
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci \( x = \color{orange} c \),
iar \( S = \{ \color{orange} c \color{dimgray} \} \).
exemple
Să se rezolve, în \( \mathbb{R} \), ecuația
\( 4^x - 64 = 0 \).
Soluție:
\( 4^x - 64 = 0 \)
\( 4^x = 64 \)
\( 4^x = 4^3 \)
\( x = 3 \)
sau
\( 4^x - 64 = 0 \)
\( 4^x = 64 \)
\( \log_4{4^x} = \log_4{64} \)
\( x \cdot \log_4{4} = \log_4{64} \)
\( x \cdot 1 = \log_4{64} \)
\( x = \log_4{4^3} \)
\( x = 3 \cdot \log_4{4} \)
\( x = 3 \cdot 1 \)
\( x = 3 \)
deci \( S = \{ 3 \} \).
\( 4^x - 64 = 0 \).
Soluție:
\( 4^x - 64 = 0 \)
\( 4^x = 64 \)
\( 4^x = 4^3 \)
\( x = 3 \)
sau
\( 4^x - 64 = 0 \)
\( 4^x = 64 \)
\( \log_4{4^x} = \log_4{64} \)
\( x \cdot \log_4{4} = \log_4{64} \)
\( x \cdot 1 = \log_4{64} \)
\( x = \log_4{4^3} \)
\( x = 3 \cdot \log_4{4} \)
\( x = 3 \cdot 1 \)
\( x = 3 \)
deci \( S = \{ 3 \} \).
exerciții
Mulțimea de soluții a ecuației \( 4^x - 4= 0 \),
este:
\(S=\{1\}\).
Soluție:
\( 4^x - 4 = 0 \)
\( 4^x = 4 \)
\( 4^x = 4^{1} \)
\( x = 1 \)
sau
\( 4^x - 4 = 0 \)
\( 4^x = 4 \)
\( \log_4{4^x} = \log_4{4} \)
\( x \cdot \log_4{4} = \log_4{4} \)
\( x \cdot 1 = \log_4{4} \)
\( x = \log_4{4^{1}} \)
\( x = 1 \cdot \log_4{4} \)
\( x = 1 \cdot 1 \)
\( x = 1 \)
deci \( S = \{ 1 \} \).